四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

一、恩格斯的无限小量的概念

在我的论文“康托集合论存在的矛盾”和“超实集合论”中提出了超实变量和无限小量的概念。现在把超实变量和无限小量的定义引述如下：如果有实变量x，就有超实变量X=x+dx，与超实变量对应的数为超实数，对应的点为超实数点，对应的函数为超实函数。对于超实变量X=x+dx，其中实变量x表示超实变量对应的点到原点的距离，dx为无限小量，它表示超实变量X对应的点的无限小长度。无限小量dx对应的无限小数是实数之外的新数，它小于任何正实数，但是不等于0，并且遵守算术公理。这里要注意的是，无限小量dx和经典微积分的微分dx有本质的区别。

这里还有一点需要注意，即在上述定义中，超实变量、超实数、超实数点和超实函数是客观实际存在的变量、数、点和函数，为了和现在人们称呼的实变量、实数、实数点和实函数互相区别而称呼为超实变量、超实数、超实数点和超实函数。

我们把恩格斯的无限小量的概念引述如下，恩格斯在他的“自然辩证法”一书中有如下一段札记：“同一和差异在微分学已经存在的辩证关系，在那里dx是无限小量，然而是起作用的，并且是无所不能的。”

首先，恩格斯所说的微分学指的是莱布尼茨的微分学，所说的无限小量指的也是莱布尼茨微积分的无限小量，并且它是实无穷概念下的无限小量。而在经典微积分里，极限理论被看作是微积分的理论基础，只有极限理论才是无所不能的，而且经典微积分的无穷小，只是潜无穷。由此可见，恩格斯关于无限小量的论述一方面是对莱布尼茨微积分的肯定，另一方面是对莱布尼茨微积分中的无限小量给出一个辩证法的解释。

关于恩格斯上述的无限小量的概念为什么是对莱布尼茨微积分中的无限小量给出了一个辩证法的解释，根据我个人的理解做如下说明，如果有不当之处，请批评指正。

首先，对于任何一个具体事物，根据唯物辩证法都具有同一和差异的辩证统一的关系，而且这个辩证统一的关系与具体事物的质和量的辩证统一的关系密切相关。例如水具有特定的性质，但是它又为特定的量，即温度所规定。当温度在0o～100°以内，水的基本性质保持不变，这就体现了水的同一性。在实际生活中，我们会体会到，5℃、40℃和90℃的水是不同的，这就是水的差异性。任何事物都是这种同一和差异的辩证统一，或者称之为同一和差异的辩证法。

而在恩格斯关于无限小量的概念中，同一和差异的辩证法，当然指的是量存在的同一和差异的辩证法。这又如何解释呢？根据质和量的辩证统一的关系，量也具有质的方面。例如根据辩证法，阴和阳是辩证统一的关系，因此阴中有阳，阳中有阴；所以量也具有质的方面，并且这个质的方面也必然为与它所对应的量所规定，显然，规定量所具有的质的方面的量就是超实变量X=x+dx中的无限小量dx。当无限小量dx在一定的范围内变化时，超实变量X就存在，它的基本性质也就保持不变，这就是超实变量的同一性。在等式X=x+dx中，当X在一个特定的点上，无限小量dx是变量，实变量x是常量，因此X也是变量。也就是说，由于无限小量dx的变化，超实变量X在任何一个特定的点上也存在差异，这个差异就是两个不同的无限小量的值的差，这个差仍然是一个无限小量。这也就是说，超实变量或者客观实际存在的变量自身存在差异，而这个差异就是一个无限小量，这就是量的同一与差异的辩证法。这里恩格斯所强调的是客观实际存在的变量既是同一的，也是自身存在差异的，而这个差异本身就是一个无限小量。也正如恩格斯所说：“同一和差异在微分学中已经存在的辩证关系，dx是无限小量，然而是起作用的，并且是无所不能的。”

现在还有一点要说明，就是德国著名的唯心主义哲学家黑格尔在200 多年前也给出了无限小的定义，这个定义是：无限小量就是量的质的量的规定性，它的含义前面已经作了简短的叙述，关于黑格尔的无限小量定义，我将在另文中给出详细的论述。这里要指出的是，黑格尔的无限小量的定义是从量和质的辩证统一的关系中得到的，是和恩格斯的无限小量的概念一致的，并且是互相补充的。他们都是根据辩证法的原理，从对量的本质的分析中得到无限小量的定义或者概念。这也就表明了，在黑格尔和恩格斯看来，微积分的真正基础是无限小量的理论，我们将根据这个观点来认识经典微积分存在的问题，并且根据这个观点来认识莱布尼茨的微积分理论，同时也要根据这个观点来建立新的微积分理论。

二、根据恩格斯的无限小量的概念试评价莱布尼茨微积分

面对人们对莱布尼茨的无限小量的批评，莱布尼茨指出：“然而一个过度的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完全的相等或者静止而是进入这样一种状态，即差小于任何指定的量，在这种状态中还剩余一些差、一些速度、一些角度，但是它们每个都是无限小。”

在上述的莱布尼茨关于无限小量的概念中指出了，变量自身存在的差异就是无限小量本身，这一观点和恩格斯的无限小量的概念是一致的，莱布尼茨根据这个观点给出了微积分的理论。莱布尼茨的无限小量的理论也是实无穷的理论。因此对于莱布尼茨的微积分应该给以肯定，他创造了微积分的辉煌时代，他的微积分理论的方向是正确的。当然，莱布尼茨微积分也有它的缺陷，莱布尼茨没有指出为什么变量自身会存在差异，而这个差异就是无限小量。也就是说，对于无限小量的概念，莱布尼茨解决了是什么的问题，同时也解决了应用的问题，但是没有解决为什么的问题。再有，莱布尼茨的微积分仍然使用实数来表示变量，因为实数本身是不存在差异的，例如5-5=0。因此，人们认为莱布尼茨微积分存在所谓的贝克来悖论而被否定了。

三、从恩格斯的无限小量的概念来看经典微积分存在的问题

首先，经典微积分仅仅根据贝克来悖论就完全的否定了莱布尼茨微积分是片面的和错误的，莱布尼茨微积分存在的缺点我们一定要丢掉，但是莱布尼茨关于变量自身存在差异，并且认为这个差异就是无限小量，并且根据这个无限小量的概念给出了微积分的理论，它体现了微积分理论发展的正确方向，这一点必须给以肯定。

再有，根据超实变量的理论完全可以给出微积分的理论（对于这个工作，在我的论文超实函数理论与微积分新理论的创新中就已经基本完成了），没有必要使用极限的概念。而对于经典微积分的潜无穷的概念，根据黑格尔的无限小量的定义和恩格斯的无限小量的概念，无限小量是客观实际存在，是实实在在的实无穷；所以经典微积分的潜无穷的概念是违背客观事实的错误思想。因此，根据黑格尔的无限小量的定义和恩格斯的无限小量的概念，经典微积分存在原则性的错误，至少是存在问题的。