例谈解排列组合问题的数学思想与方法

2020-12-15张发

文理导航 2020年35期

张发

【摘要】本文通过具体教学实例，讨论了高中数学中的排列组合问题，得出分类讨论、对称或排异除重等基本数学思想，以及特殊优先法、捆绑法、插空法等基本数学方法。

【关键词】排列组合;数学思想;方法

排列组合作为中学数学中的一部分基础内容，其在实际生活中的应用比较广泛，历年高考时排列组合内容的考查多以实际应用题形式出现，其解题过程出现思辩性和解法的多样性，对运用数学思想及方法技巧的要求较高，这就要求教师在平时的教学中，把培养学生的思维能力、对数学思想的渗透及方法的总结作为教学的重点。

在中学教材中，排列是指从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排成一列，记为Anm（n≥m）。组合是指从n个不同的元素中取出m个元素并成一组，记为Cmn（n≥m）。排列与组合的基础就是两个原理：分类原理（加法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn類办法，那么解决此问题的方法种数是n=m1+m2+…+mn。分步原理（乘法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn个步骤，那么解决此问题的方法种数是n=m1m2…mn。

下面以一些实例来浅谈在排列组合问题的解决中如何渗透数学思想、以及常用的一些方法解题方法。

一、基本数学思想

解决排列组合问题的基本思想主要有：分类讨论、对称或排异除重、递推、等价转化、正难则反等。

（一）分类讨论思想

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类与准确分步，分类时应根据同一标准，做到“类与类”之间具有并列性、独立性和完整性;分步时要注意“步与步”之间的连续性、独立性和依赖性;尽量做到不重复不遗漏，有时还可能涉及到逐级分类。

例1 从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），要求每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个，共有多少种不同的排法？

可先考虑：一类是字母O、Q和数字0只出现一个，只出现数字0有C19C23·A44种，字母O与Q出现一个有C12·C13·C29·A44;另一类是字母O、Q和数字0都不出现有C23·C29·A44种，故共有（C19C23+C12·C13·C29+C23C29）A44=8424种。

（二）对称思想或排异除重

在数学中，对称思想是运用较为广泛的，它是数学中的一种“美学”。在排列组合问题中，当遇到相同的情况，如在排列中三个元素甲、乙、丙的相邻或不相邻问题，丙在甲左与丙在乙右是对称的，是相同的问题，只要把其中的一种问题搞清楚，另一问题可仿此写出。

例2 7个人并排站成一排，要求甲、乙都与丙不相邻，共有多少种站法？

解析：此类问题应先着眼整体，7个人排成一排共有A种站法。再考虑不合条件的情况：丙站在甲、乙中间的站法有A55·A22种（即将甲、丙、乙捆绑分析）甲与丙相邻和乙与丙相邻的站法均有A66种·A22种。但甲、丙相邻和乙、丙相邻的站法中均包括了丙站在甲、乙中间的站法，故根据分类计数原理和整体排异除重策略，采用间接法可知，共有n=A77-2A66·A22+A55·A22=2400种不同方法。

（三）递推思想

在不能或直接利用分步、分类的方法解决排列问题有困难时，可以从最初、最简单的问题入手，逐步深入和推广，找出规律，达到问题的最终解决。

例3 在线段A1An（n≥2）上共有n个点A1，A2，…，An，给这些点的一部分（或空集）染上红色，使得已染色的点均不相邻，问共有多少种染色方法？

解析：首先，第n个点有两种可能：①未染色，则前n-1个点的染法数为Ln-1种;②染上红色，则第n-1号点不能染色，设n-2个点的染法数为Ln-2种（注意：“空集”染色即所有的点不染色）;

其次，根据分类计数原理，即可得结果Ln=Ln-1+Ln-2，L2=3，L3=5。通过递推关系总可得到n取其它值时的染色种数。

（四）等价转化

1.建构插板模型

将n个相同的小球排成一排，它们之间共有（n-1）个间隔，任取（m-1）个间隔，将这n个物体分成m个部分（m≤n，m、n∈N*，n≠1），每个部分至少含有一个物体，不同的方法数共有Cm-1n-1种。

例4 将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，求名额的分配方法的种数。

解析：这个问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6块闸板插在11个间隔中，名额分配方法共有C611=462种。

2.建构几何模型

如不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有7个。如果把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点、平面α可以分为两类：一是四个定点分布在α的一侧一个，另一侧三个，此类中α共4个（三棱锥的四条高上的中垂面）;二是四个定点分布在α的两侧各2个，此类中共3个（在三棱锥内任一点作一对异面直线的平行线确定一个平面，调整该平面到这对异面直线间的距离使其相等;有三对异面直线）。综上，α共4+3=7个。

（五）正难则反

对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数。

例5 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中是直角三角形的共有多少个？

解析：方法1，8个顶点中任取3个可构成三角形，但其中有8个等边三角形（比如△A1BC1是以B1为相交棱上的三点A1、C1、B组成），故直角三角形数为C38-8=48个。

二、基本数学方法

（一）特殊优先法

对存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，应先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置。

例1：从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函

数f（x）=ax2+bx+c的系数，可以组成不同的二次函数共有多少个？

首先，a是特殊元素，因为a≠0，所以应从除0以外的三个数中任取一個有C13种，b、c应从剩下的三个中任取两个有C13·C12（或A）种。由分步计数原理组成不同的二次函数共有C13·A23=18个。

（二）捆绑法

在n个不同元素中，规定某r个元素连排在一起，这时可将这r个元素视为一个新元素，与剩下的（n—r）个元素进行排列，再将这r个元素全排列。