潘嵘 宋宗余

摘 要：通过积分常数法证明中值定理，启发学生的思维，加深其对问题的理解和解决问题的能力.

关键词：微分中值定理;变上限积分;原函数;构造函数

[中图分类号]O172.1   [文献标志码]A

Abstract：The mean value theorem is proved by the integral constant method，Which inspires students' thinking，deepens the understanding of the problem and the ability to solve the problem

Key words：differential mean value theorem;change upper integral;original function;constructor function

微分中值定理是大学数学中重要的定理之一，是微分教学的重要内容.教学难点是，证明过程中要构造一个合适的辅助函数，因此，辅助函数的构造就成为中值定理教学的关键.在大多数大学数学中，拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理的证明都是直接给出辅助函数，利用辅助函数满足罗尔（Rolle）中值定理得出结论，没能将前后知识合理衔接.笔者给出一种新的辅助函数构造技巧方法-积分常数法，这里对拉格朗日和柯西中值定理进行证明.

积分常数法证明柯西中值定理要注意的是，柯西中值定理表达式包含两个不同的函数.在实际处理问题时，要注意变形.

微分中值定理很好地刻画了导数的局部性和函数的整体性关系，是联系导数和函数之间关系的桥梁纽带.中值定理的证明关键是构造合适的辅助函数，辅助函数法是解决数学问题重要的思想方法，是非常有效的数学工具.进行构造的目的是：如果不能按正常的逻辑关系推理得到问题的结论时，就要从新的角度观点出发，另辟蹊径，依据已知的信息创造性的解决问题.

2 结束语

本文从罗尔中值定理的应用出发，明确罗尔定理证明问题构造辅助函数的解题思路，顺理成章地构造出合理的辅助函数，从而证明出相应的结论，变形要盯住目标.由于解决问题的途径常常不是唯一的，在平时的学习中，应考虑如何才能更快有效的解决问题，注意可能途径之间的选择，体现出對知识的灵活运用，有助于逻辑思维的训练，形成知识网络.公式的形式要懂得推广，在构造辅助函数的过程中，要多留意经常用的模型，只要条件允许，f″（x）←→f′（x）←→f（x）←→∫xaf（t）dt，相邻两项均可使用中值定理.

参考文献

[1]郭旭，郑军.关于两个积分不等式的推广[J].大学数学，2019（1）：123-126.

[2]潘伟，张宏伟，达铭.拉格朗日中值定理证明方法的研究与探索[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（3）：10-11.

[3]杜争光.微分中值定理中点函数的性质[J].高师理科学刊，2018（2）：102-104.

[4]孙杰宝，郭志昌，钱晓惠.积分中值定理典型例题错解探究[J].高等数学研究，2019（6）：5-7+10.

[5]崔艳，储亚伟，马玉田等.复变函数中积分中值定理的改进和推广[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2017（2）：34-35+40.

[6]李伟军.微分中值定理说课案例研究[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2017，30（3）：136-138.

编辑：吴楠