程 雷，崔云涛，王妍妍，蒋效雄,2

（1.天津航海仪器研究所，天津，300131；2.中国船舶航海保障技术实验室，天津，300131）

半球谐振陀螺(HRG)是基于哥氏效应测量角速度的固体波动陀螺，具有结构简单、精度高、功耗低、寿命长、可靠性好、抗空间辐射等优点，被国际惯性技术界认为是21 世纪广泛应用于各类运载器捷联惯导系统的理想器件[1,2]。

半球谐振陀螺的谐振子在控制系统的作用下维持环向波数为2 的四波腹振动，在这种振动模态下，半球谐振子唇缘的振型具有四个波腹和四个波节。当陀螺不转动时，波腹点和波节点的位置保持不变；当陀螺转动时，在哥氏力的作用下，振型相对壳体产生环向进动，如图1所示。当壳体顺时针绕中心轴旋转φ角度时，振型则相对半球壳逆时针旋转θ角度，且有θ=Kφ，K称为振型的进动因子。因此，只要精确测量出振型相对壳体旋转的角度θ，就可以计算出壳体绕中心轴转过的角度φ[2]。

半球谐振陀螺的核心元件是谐振子，谐振子的核心运动是振动，振动的品质因数Q决定了陀螺的精度，Q值越大，陀螺的精度越高。谐振子的振动频率为KHz量级，空气阻尼的影响对振动的影响尤为重要，显然半球谐振陀螺应工作在空气稀薄的条件下，真空度越高，空气阻尼对谐振子振动影响越小。但空气阻尼对谐振子的影响机理，以及如何定量计算，没有相关材料提供依据，因此本文进行了研究与实验，推导出计算公式，用以计算不同真空度条件下谐振子的空气阻尼以及空气阻尼作用下的品质因数Q值，并基于此理论分析与计算得出相关结论，为半球谐振陀螺的真空设计提供依据。

1 空气阻尼对谐振子品质因数的影响

1.1 谐振子的品质因数

半球谐振陀螺的谐振子由熔融石英加工而成，物理特性稳定，具有很高的可靠性和超长的寿命[3]，理论上，具有很高的品质因数，具有断电后仍能继续工作长达10 分钟的优势。

谐振子的品质因数Q，反映了谐振子振动的能量损失情况，我们定义Q为：一个振动周期中，谐振子的初始能量E与结束时损失的能量ΔE比的2π 倍。

谐振子的品质因数Q直接决定了陀螺的精度以及分辨率极限。与Q有关的影响因素见式(2)。

式中，1/Qfri——内摩擦损耗，由材料物理属性决定；1/Qsur——表面缺陷损耗，由加工工艺决定；1/Qgas——空气阻尼损耗；1/Qother——其他环境损耗，由装配及封装工艺决定；1/Qsup——支撑损耗；1/Qother——热弹性损耗，受材料自身缺陷、形状结构影响。

通过式(2)可知，降低空气阻尼的损耗，可以提高Q值，对陀螺的精度及分辨率有积极意义。

1.2 空气阻尼对半球谐振陀螺的影响机理

半球谐振陀螺工作时，只考虑空气阻尼作用的半球谐振子的振动模型如下：

其中m为质量，C是空气阻尼系数，k是弹性系数，可以推出：

δ是空气阻尼因数（或称空气阻尼衰减常数），ω0为初始角频率。其中：

得到通解：

其中A为振幅，ω为角频率，φ是相位角。

而阻力为：

半球谐振陀螺的能量为:

由于δ≪ω0，能量公式简化为：

而δ≪ω0=2π/T，T为一个振动周期的时间，品质因数Q为：

由此可以得出：谐振子的Q值与δ阻尼因数成反比，若要提高谐振子的Q值，必须降低空气阻尼因数δ。

2 不同真空度环境下半球谐振陀螺空气阻尼分析

半球谐振陀螺的空气阻尼情况比较复杂，不同真空度环境的空气阻尼的机理不同，数值差别非常大。克努森系数Kn是表征流体特征的重要参数[4,5]：

λ是气体分子平均自由程[6]，d为流体特征尺寸，即谐振子与激励、检测电极的极间间隙。

n是气体分子密度；σ是气体分子直径；对于20℃的空气有：

其中，P是真空度。

克努森系数Kn＜ 0.001 时，空气状态考虑为连续的流体，适用纳维-斯托克斯方程；0.001＜Kn＜ 0.1 时，空气状态为滑移流区，气体开始变得稀薄，适用纳维-斯托克斯方程时应考虑边界条件；Kn＞ 10 时，空气状态为自由分子状态；0.1＜Kn＜ 10 时，空气状态介于自由分子状态和流体状态之间的过渡流区[7,8]。

2.1 连续流态的空气阻尼系数

半球谐振陀螺的谐振子为半球形，检测电极、激励电极也为同心的半球形，谐振子产生的振动可以用平板运动来简化。当克努森系数Kn＜ 0.001 时，谐振子所受的空气阻尼主要是压膜阻尼[9]，受力情况如图2。

图2 压膜阻尼示意图Fig.2 The sketch of squeeze film damping

极板间的气体可认为是粘性不可压缩的流体，纳维-斯托克斯方程可用雷诺方程来求解。极板间距d远小于极板平面尺寸，极板间压力承抛物线分布，中间高两侧低，气体密度与气体平均自由程的乘积等于常数，雷诺方程为：

其中，x为平行极板方向，y为垂直极板方向，μ是空气的粘滞系数为1.81×10-5Pa·s。

谐振陀螺的振动频率为几千赫兹，频率较低，不考虑温度变化的情况下方程可简化为：

考虑极板的边界模型，在极板的x、y边界气体的压力变化为0，极板受到的压力P(x,y)可通过边界模型假设得出[9]，然后利用P(x,y)对极板面积积分可得出阻尼力为：

W为宽度，L为长度，d为间距，β(W/L)是经验系数，如图3所示。

图3 β(W/L)与W/L 关系图Fig.3 The diagram of β(W/L) and W/L

可得出空气阻尼系数为：

根据图4，β(W/L)取值0.85。

其中S是振动极板的面积。

2.2 滑移流态的空气阻尼系数

当克努森数0.001＜Kn＜0.1 时，谐振子所受的空气阻尼仍然主要是压膜阻尼，不过由于空气开始稀薄，空气粘滞系数μ的值不再是一个基本不变的量，需要对其进行修正，修正方法有很多，这里我们采用Hsia[10]修正，有效粘滞系数μeff为：

2.3 自由分子态的空气阻尼系数

当Kn＞10 时，空气状态为自由分子状态。空气分子之间的碰撞可以忽略，主要考虑分子与谐振子极板的碰撞。极板在此状态下以速度v运动，如图4所示。

图4 谐振极板运动简图Fig.4 The sketch of plate movement

图5 谐振极板受力简图Fig.5 The sketch of plate stress

M为气体摩尔质量（Kg/mol）；θ为气体入射角；dω为与面ds法线成θ角度和θ+dθ的两锥面间包括的所有立体角；R为摩尔气体常数，空气的摩尔气体常数为8.31441 N ⋅ m/ （mol ⋅ K）；T为热力学温度（K）；P为真空度。

根据克努森的吸附层假说，气体分子碰撞到极板后先吸附在极板上，停留一段时间后再重新逸出，方向与原来无关，所以可以通过单位时间内碰撞到极板上的气体分子的动量，计算出极板所受的力：

经积分计算后，极板阻力为：

所以空气阻尼系数C为：

2.4 过渡流态的空气阻尼系数

当0.1＜Kn＜10 时，空气状态介于自由分子状态和流体状态之间。既要考虑自由分子状态的空气分子对极板的直接撞击，又要考虑极板间隙中的空气分子层间的滑移粘滞，因此空气的阻尼系数为两种状态的累加。

空气的粘滞阻尼主要是由于空气分子间的碰撞产生的，空气自由程λ是一个平均量，有些分子的自由程大于λ，有些小于λ，在λ＜＜d（极间间隙）时，大于空气自由程λ的分子直接与容器壁间的碰撞几率非常小，可以忽略不计，但当λ与d尺寸接近，这种影响就不能忽略了。

式(26)是气体分布函数。其中，n是气体分子总数，nx表示自由程大于x的分子数。根据气体粘滞阻尼的定义，分子自由程大于极板间距部分的气体分子对粘滞阻尼贡献很小，因此可得出有效粘滞阻尼系数为：

2.5 不同真空度品质因数的计算

以谐振子外径为SR15，电极间距0.15 毫米，共振频率5 KHz 的谐振子为例，把谐振子的几何参数带入2.1-2.4 节得出的C的表达式如式(18)(20)(25)(28)，进而可通过式(5)求出各种空气状态下的δ值，再由式(10)可求出各种空气状态下的Q值，如表1。

表1 不同真空度的品质因数Tab.1 Vacuum degree and Q

由表1可以看出：在连续流状态（1×105Pa～1×104Pa）和滑移流状态（1×104Pa～500 Pa）阶段，Q值非常低，而且上升不明显，不适合谐振陀螺工作；在过渡流（500 Pa～5 Pa）状态阶段，Q值开始上升，并在Kn接近10 时达到106量级，这基本上达到了低精度的谐振陀螺的工作需要；在分子流（真空度优于1 Pa）状态阶段，Q值与真空度等比例上升，高精度谐振陀螺应该工作在这一阶段。

3 实验验证

为了验证以上理论推导的正确性，设计了一套实验装置，结构如图6所示。在真空排气台的接口为2 个卡位，一侧接口安装一只谐振陀螺，另一侧安装一个漏孔。测试原理为利用真空排气台上的复合真空计监测真空度，改变真空机组工作方式和调节漏孔大小控制陀螺的真空环境，实现陀螺Q值的测试。陀螺通电激振，然后撤去激励，检测极板间电容变化，计算出陀螺Q值。

对于一只Q值为9×107的谐振陀螺进行测试，测试结果如图10 所示：大气压至500 Pa 陀螺激振效果不明显，基本测不出Q值，500 Pa 后Q值开始上升，分子流阶段上升明显。这两阶段的测试结果与计算结果趋势一致，测试值与计算值误差很小，验证了计算结果的正确性。真空度高于10-2Pa 后，测试Q值不再增加与谐振子本身的性能有关，真空度已经不再是影响这一精度谐振子性能的主要因素。

图6 真空测试装置Fig.6 The sketch of Vacuum testing device

5 结 论

本文主要研究了空气阻尼对半球谐振陀螺的影响，根据不同真空度条件下空气阻尼对谐振子的作用机理，进行了详细的分析和计算，分别得出了空气阻尼在克努森系数Kn的4 种取值范围内的计算公式，通过空气阻尼计算出谐振子的品质因数Q，并以某型谐振陀螺进行实验验证。综上可得出，谐振子很难在连续流、滑移流阶段产生有效的谐振，半球谐振陀螺不能在这一阶段工作；谐振子Q 值在过渡流阶段随着真空度的提高开始上升，并在接近分子流时达到106，满足低精度谐振陀螺的使用；进入分子流阶段，真空度每升高一个量级，Q值也上升一个量级，高精度谐振陀螺应该工作在这一阶段。针对本文计算、测试所采用的谐振陀螺，若想满足Q值优于108的高精度谐振子的工作需要，空气阻尼影响的要求最少要高出1 个数量级，即达到109，真空要求应优于1×10-3Pa。本文的分析为半球谐振陀螺的真空设计提供了理论依据。

图7 真空Q 值图Fig.7 The sketch of vacuum Q