李创第,王博文,昌明静

(广西科技大学 土木建筑工程学院,广西 柳州 545006)

0 引 言

减震工程中,为减小结构体系的地震动响应,通常采用增加结构阻尼的方法,其中粘弹性阻尼装置可以有效提供阻尼而被广泛采用[1]。描述粘弹性阻尼器的力学模型主要有Maxwell[2-3]、GHM、分数导数、Kelvin等,以Maxwell模型为基础可扩展为拟合精度较高的广义Maxwell阻尼器模型[1,4],对于工程上实际应用的线性流体粘弹性阻尼器和线性固体粘弹性阻尼器,其本构关系均可用参数足够多的广义Maxwell模型精确[5]表示,且广义Maxwell模型对流体和固体粘弹性阻尼器本构关系的实验数据拟合精度均优于分数导数模型[6-7]和Shen and Soong模型[8],因此采用广义Maxwell模型分析粘弹性耗能结构的动力性能具有较好的工程应用价值。为了提高精度和工程实际应用,一般要考虑支撑的影响[9]。

地震从发生到结束的整个过程, 一般都是非平稳随机过程[10], 为了计算分析方便, 通常将这些非平稳随机过程中比较平稳的一段视为平稳随机过程, 因此平稳激励是研究随机振动的基础[11-13]。 平稳随机激励主要有白噪声激励模型[14]、 Kanai-Tajimi谱地震激励模型[15]、 Clough-Penzien模型[16]、 胡聿贤谱[17]等, 其中Kanai-Tajimi谱地震激励模型具有符合地震动特点和表达式相对简单的特点而受到广大科研人员的研究[18]。 为此, 非平稳随机地震响应分析的研究具有十分重要的实际意义。

在非平稳随机地震激励下,一般粘弹性耗能减震变频结构常用非扩阶近似法等作为分析方法。非扩阶近似法主要是采用模态应变能法[19]和取结构基频的强行振型解耦法[20], 但因其在多自由度结构振动分析时忽略模态交叉项的影响,使其精度和使用范围受到限制。林家浩等提出的虚拟激励法,将非平稳振动分析转化为简谐振动分析和确定性时间历程分析,在计算步骤简化的基础上仍保持理论上的高度精确性[13],该方法被广泛应用于结构动力响应、波传播、刚性问题、偏微分方程的求解等众多领域[21],并且应用在未设置粘弹性阻尼器的结构受非平稳随机激励响应的精确高效计算分析中[22],但至今尚未应用于含有粘弹性阻尼器的消能减震结构的结构及各减震构件的抗震动力响应分析。

钟万勰提出的精细积分法能有效降低因精细划分引起的误差[23-25]。目前林家浩等提出HPD-L和HPD-S精细积分格式,已应用于无阻尼器结构的均匀非平稳随机响应高效分析[23],但仅对于均匀调制激励效率较高,而对于非均匀调制型非平稳随机地震响应问题尚未解决。

本文为拓宽粘弹性阻尼耗能减震结构在非均匀非平稳地震激励下响应分析的适应范围,对设置支撑的广义Maxwell阻尼耗能系统随机地震响应的数值分析方法进行了系统研究。采用设置支撑的广义Maxwell阻尼器进行建模，再在非平稳随机激励下把虚拟激励法引入耗能减震结构中，最后利用精细积分法的改进格式解出广义Maxwell阻尼耗能减震结构的系统响应,并计算方差,通过均匀非平稳激励下广义Maxwell结构的地震响应方差对比精确解,从而拓宽到非均匀非平稳地震激励下广义Maxwell结构的地震响应方差。

1 结构运动方程

(1)

图1 结构模型Fig.1 Model of the structure

xb=x-xQ;

(2)

PQ(t)=kbxb;

(3)

(4)

(5)

hQi(t)=kie-μit;μi=ki/ci。

(6)

式中:阻尼器第i个阻尼单元的阻尼力、松弛函数、松弛时间倒数分别为Pi(t)、hQi(t)、μi,i=1,2,…,n。

由式(5)和式(6),可得

(7)

将式(2)代入式(3),同时考虑式(1)和(4),可以写为

(8)

(9)

令

(10)

将式(9)分别代入式(8)和(7),最终可得

(11)

(12)

式(10)、(11)和(12)以扩阶的形式表示为

(13)

(14)

(15)

(16)

2 非平稳随机地震的虚拟激励法

(17)

(18)

式(16)可改写为

(19)

方程(19)的通解为齐次解与特解之和,即

Z(t)=T(τ)(Z(tk)-Zp(tk))+Zp(t),

(20)

T(τ)=eHτ,

(21)

式中:积分步长t∈[tk,tk+1],τ=t-tk。 问题归结为求特解Zp(ω,t)及精细地计算T(τ)。关于指数距阵T(τ)的精细计算，详见文献[24]。

3 精细积分计算

3.1 改进HPD-L精细积分格式

由于在精细积分计算时,步长τ=tk+1-tk通常取的非常小,那么在每一个时间步长内荷载可以看作是线性变化的,即

f0(ω,t)=r0(ω,tk)+r1(ω,tk,tk+1)(t-tk),

(22)

则方程(19)的特解为

Zp(ω,t)=(H-1+It)(-H-1r1(ω,tk,tk+1))-

H-1(r0(ω,tk)-r1(ω,tk,tk+1)tk)。

(23)

将其代入式(20)即得精细积分HPD-L格式

Ζ(ω,tk+1)=T(τ)(Z(ω,tk)+H-1(r0(ω,tk)+

H-1r1(ω,tk,tk+1)))-H-1(r0(ω,tk)+

H-1r1(ω,tk,tk+1)+r1(ω,tk,tk+1)τ)。

(24)

3.2 改进HPD-S精细积分格式

同理,由于在精细积分计算式,步长τ通常取的非常小,那么在每一个时间步长内荷载可以看作是简谐变化的,即

(25)

式中:

将式(25)代入方程(19)右端,可解得方程的特解为

(26)

于是得精确积分方法的HPD-S格式

(27)

Szz(ω,t)=z*(ω,t)z(ω,t),

(28)

(29)

式中:“*”表示复共轭。

综上步骤,设置支撑的广义Maxwell阻尼耗能结构系统的位移、速度,阻尼器受力等非均匀非平稳地震响应均可得到。

4 算 例

设置带支撑的五参数Maxwell阻尼器单自由度减震系统(图2), 结构基本参数: 质量m=42 500 kg,刚度k=145.43×105N/m, 阻尼比为s0。 Maxwell阻尼器的基本参数为: 平衡刚度为k0=0.36×105N/m, 支撑刚度为kb=1.5k(kb=rbk,rb为支撑刚度与结构刚度的比值, 此处rb=1.5), Maxwell单元阻尼器两分支单元的刚度和阻尼分别为k1=42.08×105N/m,c1=0.83×105N·s/m;k2=6.87×105N/m,c2=2.15×105N·s/m。

图2 结构计算简图Fig.2 Structure calculation diagram

其中，部分参数计算取值为ωf=19 rad/s,ξf=0.65，S0=0.015 54 m2/s3。调幅函数分别取为Shinozuka-Sato型[26]均匀调幅和Spanos-Solomos型[27]非均匀调幅,计算参数分别取为

g(ω,t)=g1(ω,t)=e-0.6t-e-t,

运用本文方法得到Shinozuka-Sato型均匀调制非平稳地震激励作用下结构响应方差,与精确解进行对比,验证本文方法的正确性与可行性,如图3～5所示。 进一步应用到Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下结构响应方差,如图6～8所示。可以看出:在非平稳激励下,结构的位移、速度和阻尼器受力均具有峰值效应,表现出明显的非平稳随机特性,符合工程实际。

图3 Shinozuka-Sato型均匀调制非平稳地震激励作用下的结构位移响应方差Fig.3 Variance of structural displacement response under Shinozuka-Sato uniformly modulated and non-stationary seismic excitation

图4 Shinozuka-Sato型均匀调制非平稳地震激励作用下的结构速度响应方差Fig.4 Variance of structure velocity response under Shinozuka-Sato uniformly modulated and non-stationary seismic excitation

图5 Shinozuka-Sato型均匀调制非平稳地震激励作用下的阻尼器受力响应方差Fig.5 Variance of the damper force response under Shinozuka-Sato uniformly modulated and non-stationary seismic excitation

图6 Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下的结构位移响应方差Fig.6 Variance of structural displacement response under Spanos-Solomos non-uniformly modulated and non-stationary earthquake excitation

图7 Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下的结构速度响应方差Fig.7 Variance of structure velocity response under Spanos-Solomos non-uniformly modulated and non-stationary earthquake excitation

图8 Spanos-Solomos型非均匀调制非平稳地震激励作用下的阻尼器受力响应方差Fig.8 Variance of the damper force response under Spanos-Solomos non-uniformly modulated and non-stationary earthquake excitation

为了研究阻尼比对结构响应的影响,s0分别取0.02、0.04、0.08、0.20，支撑刚度取kb=1.5k。阻尼比对结构响应的影响较大,在两类非平稳激励下,3种响应如图3a、4a、5a和图6a、7a、8a。阻尼比越大,响应越早达到峰值,结构的位移、速度和阻尼器受力响应方差均越小。

为了研究支撑刚度对结构响应的影响,结构基本参数不变,而rb分别为0.5、 1.2、 10、 ∞, 阻尼比取s0=0.1, 在两类非平稳激励下, 3种响应如图3b、4b、5b和图6b、7b、8b。支撑刚度对结构响应影响较大,响应峰值发生时间不随支撑刚度变化而变化,支撑刚度越大,结构的位移、速度响应方差越小,阻尼器受力响应方差越大。

对于本算例,可任选一种积分格式计算,这里选取HPD-L精细积分格式计算。为确保阻尼器取得较好的减震效果,支撑刚度应取kb≥10k, 此时可按kb=∞情况下进行近似计算; 对于kb较小情况, 不能按kb=∞情况进行近似计算, 应按kb的实际刚度进行计算;否则,将会导致错误结果。

5 结 论

为拓宽粘弹性耗能结构及其保护系统的抗震分析与设计方法的适用范围,本文基于虚拟激励法和精细积分法,对设置支撑的广义Maxwell阻尼减震结构系统,通过均匀非平稳和非均匀非平稳两种随机地震激励进行响应分析。

(1)在均匀非平稳地震激励下广义Maxwell耗能结构的地震响应方差与精确解对比精度非常高,验证了本文方法的正确性与可行性,该方法适应于设置支撑的广义Maxwell阻尼系统的非均匀非平稳响应分析,可直接应用于粘弹性阻尼耗能减震结构响应分析。支撑刚度对粘弹性耗能系统有重要影响,在支撑刚度较耗能系统刚度很大的情况下,支撑刚度对耗能系统响应的影响效果不再增加,一般情况下,应考虑有限支撑刚度对耗能系统响应的影响。

(2)本文非均匀精细积分精确格式,不受计算步长的影响,任意步长计算效果都是精确的。相同步长而言,非均匀精细积分精确格式比传统办法(如Newmark法),精度和效率都有显著提高,应用范围更加广泛,工程应用强。

(3)此方法为非均匀非平稳随机地震激励下结构系统及各减震构件的抗震动力响应分析提供了路径。