■安徽省霍邱县第一中学 魏兆祥

■安徽省霍邱县第一中学 余其权

概率统计部分的内容由于易混点多，重复或遗漏的情况不易察觉等，同学们感觉易做但易错。下面我们将同学们容易出现的错误列举出来，并加以辨别分析，以期对大家的学习能提供一些帮助。

一、忘记回归直线过样本中心点致误

例 1某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如表1）。由数据运用最小二乘法得到线性回归方程ˆy=-2x+a，则a=____。

表1

错解：将点（18，25）代入ˆy=-2x+a，得25=-2×18+a，解得a=61。

剖析：不理解回归直线过样本中心点，随便代入数据导致结果错误。求出样本的中心点，代入回归方程，即可求解。

正解：因为，故样本中心点为（10，40）。因为回归直线经过样本中心点，代入回归方程得40=-2×10+a，解得a=60。

二、混淆“有序”与“无序”致误

例 2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两人依次各抽取一题。求：

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率。

（2）甲、乙两人至少有1人抽到选择题的概率。

错解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有个，又甲、乙两人依次抽到一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为。

（2）设甲、乙两人至少有1人抽到选择题为事件A，则甲、乙两人都未抽到选择题为事件，由对立事件的计算公式得P（A）=1-。

剖析：上述解法错把甲、乙依次抽取一题理解为甲、乙同时抽取一题，前者与顺序有关，是排列问题；而后者与顺序无关，是组合问题，两者的本质是不同的。

正解：基本事件总数应为=10×9=90（个）。

（2）设甲、乙两人至少有1人抽到选择题为事件A，则甲、乙两人都未抽到选择题为事件，由对立事件的计算公式得P（A）=1-。

三、混淆“独立事件”与“互斥事件”致误

例 3甲、乙、丙三名射手击中目标的概率分别为0.7、0.8、0.85。若他们三人分别向目标发射一枪，试求三弹都脱靶的概率。

错解：设甲发射一枪击中目标为事件A，乙发射一枪击中目标为事件B，丙发射一枪击中目标为事件C，则甲、乙、丙三人分别向目标发射一枪击中目标为事件ABC，从而甲、乙、丙三人分别向目标发射一枪击中目标的概率为P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.7×0.8×0.85=0.476，所以三人分别向目标发射一枪三弹都脱靶的概率为1-P（ABC）=1-1.476=0.524。

剖析：上述错误在于将相互独立事件同时发生的事件当成互斥事件来考虑，认为“三弹都未中”的对立事件是“三弹都中”，而事实上，这两者不是对立事件。

正解：设甲、乙、丙发射一枪击中目标分别为事件A、B、C，则甲、乙、丙脱靶的概率分别为所以三弹都脱靶的概率为0.3×0.2×0.15=0.09。

四、混淆“随机事件”与“互斥事件”致误

图1

例 4如图1，用a、b、c三类不同的元件连接成一个系统N。当元件a正常工作且元件b、c至少有一个正常工作时，系统N正常工作。已知元件a、b、c正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90。分别求系统N正常工作的概率P。

错解：设元件a、b、c正常工作为事件A、B、C，则系统正常工作的概率为P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）]=0.8×（0.9+0.9）=1.44。

剖析：对于两个随机事件A、B，有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B），特别地，当A、B互斥时，有P（A+B）=P（A）+P（B）。对于上述解法产生错误的原因主要是B、C不是互斥事件，所以公式P（B+C）=P（B）+P（C）不成立。

正解：系统正常工作的概率为P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）-P（B）·P（C）]=0.8×（0.9+0.9-0.9×0.9）=0.792。

五、混淆“几何概型”与“古典概型”致误

例 5心理学家分析发现，视觉和空间能力与训练时间有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，进行了对比试验，经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间为5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间为6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率。

错解：设事件A为“乙比甲先做完此道题”，由题意知，甲完成该题所用的时间可以是5，6，7分钟，共3种情况，乙可以是6，7，8分钟，共3种情况，所以共有3×3=9（个）基本时间。其中甲用7分钟，乙用6分钟时，事件A发生，所以。

剖析：误认为时间是有离散度的，将其看成了一个古典概型。实际上时间是一个连续性随机变量，在求解时应建立几何概率模型。

正解：（1）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为如图2所示。

设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x＞y。

图2

六、混淆“超几何分布”与“二项分布”致误

图3

例 6为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图3所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3，其中第二组的频数为12。

（1）求该校报考飞行员的总人数；

（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学（人数很多）中任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望。

错解：由题知，体重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，随机变量X服从超几何分布，X所有可能的取值为0，1，2，3。

剖析：对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；对于何时可以用样本的频率代替总体的概率不清楚。注意：（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”。本题中，“若从全省报考飞行员的同学（人数很多）中任选三人”，特别强调人数很多，意味着实验可以看作是“有放回抽样”，所以是一个二项分布。（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”，其意思是用频率来代替概率，即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率为，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率为。

正解：（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，由条件可得解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375。又因为故n=48。

（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=p3+（0.037+0.013）故X服从二项分布，则P（X=k）。

所以随机变量X的分布列为表2：

表2