王莉莉，包红军，2，李致家

(1.国家气象中心，北京 100081；2.中国气象局-河海大学水文气象研究联合实验室，北京 100081；3.河海大学水文水资源学院，江苏 南京 210098)

0 引 言

洪水实时预报以动态预报洪水变化过程为目的，由洪水预报模型和实时校正方法两部分组成[1]。洪水预报模型反映水文系统的内在变化规律，从根本上决定流域水文物理过程的模拟精度[2]；实时校正方法根据当前实时信息，应用现代系统理论和方法，对预报模型参数或状态变量或输入向量或预报值进行实时订正，建立对系统模型与预报的现时校正的回馈机制[3]。洪水预报实时校正的依据来自于预报误差，主要包括模型结构误差、模型参数误差、模型输入误差、初始条件误差[4-7]。

根据实时校正所依据理论区分，实时预报方法主要可划分为[3，8]：①以现代系统理论为基础的系统类方法，以最小二乘法、Kalman滤波等为最为典型[9]；②以现代时间序列分析为基础的统计类方法，对预报模型的参差序列进行预测，与模型本身分离，包括误差自回归模型、自回归滑动平均模型等；③简易经验校正方法及利用计算机图形功能的人机交互校正方法。

目前，水动力学模型在洪水预报中的研究表明，单纯求解水动力学方程的差分技术已经比较充分，进一步提高精度的潜力不大[9]。为了探索从实时校正角度提高洪水预报精度，本研究以淮河中游河道为例，将水动力学模型动态化，建立以观测变量为状态向量的水动力学模型Kalman滤波实时校正模型，并在试验流域典型洪水预报中进行验证。

1 基于Kalman滤波的实时校正模型

1.1 圣维南方程的离散化和线性化

扩展的圣维南方程由连续方程和动量方程组成

(1)

(2)

可采用Preissmann四点隐式差分格式对连续方程和动量方程进行时间(i)和空间(j)的离散化。

形成的两个方程，对N个断面的N-1个河段可写出2N-2个方程，加上两个边界条件方程，总共是2N个代数方程。其中，含有2N个未知量(N个断面的ΔZj、ΔQj)；方程组有唯一解。在河道实时洪水预报中，其上下边界条件分别为上下游水位或者流量随时间的变化过程或者水位～流量关系曲线。上边界选用流量过程，下边界选用水位过程。则上下边界方程分别为

C0ΔZ1+D0ΔQ1=G0

(3)

CNΔZN+DNΔQN=GN

(4)

如果将每个断面时段初时刻的水位、流量看作输入，末时刻的水位、流量看作输出，描述的正是一个长河道洪水变化的线性系统。

1.2 观测变量为状态向量的Kalman滤波自适应模型

选择1～N个断面的水位、流量(系统输入输出变量)为状态向量xt并与观测向量yt同形，即

yt=xt=[Z′1Q′1Z′2Q′2……Z′NQ′N]T

(5)

则

(6)

结合式(3)～式(6)，加上噪声得到状态方程

(7)

观测方程为

yt=xt+vt

(8)

这就构成了非马尔可夫形式的状态空间方程。其中，状态转移阵、观测矩阵皆为单位阵，ωi、vi分别为模型误差向量和观测误差向量。使用式(7)、(8)即可调用Kalman滤波器，进行滤波的结果是校正模型和观测两种噪声(误差)，使xt逐步逼近真值，达到提高精度的目的。

如果Qk、Rk已知，则可以得出一般的Kalman滤波递推方程，但是将Kalman滤波递推模型用于实际的洪水预报存在几个问题：①Qk与Rk已知；②Qk与Rk偏差大，E{ωk}≠0。增益矩阵主要基于Qk与Rk，但是在洪水预报前得到准备的Qk与Rk值是很困难的[10]。如何在洪水预报实时的估计出Qk与Rk值，称之为自适应洪水预报滤波模型。如果滤波系统是定常的，wk和vk属于平稳随机过程，在滤波系统过度过程结束后，Pk与Gk将都为定常。实际河道中水位或者流量都是非平稳的随机过程；因此，系统噪声wk和量测vk也是属于非平稳的随机过程。由于洪水预报实际作业中的时间步长与样本长度，到洪水退水期，滤波系统才能达到平稳。

当状态变量维数n等于量测变量维数m时，可以估计出Rk和Qk值；当状态变量维数n大于量测变量维数m，虽然能够估计出Rk的统计值，但难以估计出Qk统计值。考虑到实际预报中，预报断面数目往往多于实测断面数，理论上难遇估计出Qk值。因此，本研究假设Qk已知，建立以观测变量为状态向量的Kalman滤波自适应递推模型。

2 基于Kalman滤波的实时校正模型应用分析

本次研究以王家坝水文站至鲁台子水文站的淮河干流为试验河段(见图1)。河段右岸有史河、淠河2个支流汇入，并且还有两个蓄洪区(城西湖蓄洪区、城东湖蓄洪区)；左岸有颍河1个主要支流汇入，另外还有洪河分洪道、谷河和润河汇入和蒙洼蓄洪区、姜唐联湖蓄洪区、南润段、邱家湖、润赵段3个行洪区。王家坝至鲁台子河段共有3个水文站与4个水位站，在整个流域防汛中，一直处于洪水预报关键之处。

选取淮河王家坝至鲁台子河段作为试验河段，基于一维水动力学模型，以南照集水位、润河集水位和流量、汪集水位、正阳关水位作为观测变量进行建立状态方程。在半自适应滤波模型中，Qk预先给出，Rk是自动实时估计出来的；Qk是wk的协方差矩阵。由于wk是非平稳的随机过程，Qk也是时变的，在是实际应用中只能预估个均值。本次研究中取为1 000。Kalman滤波模型中决定校正量的是增益矩阵Gk，洪水预报中Qk的取值不当，滤波器会通过调整Rk来式增益比保持一定的数值，促使滤波器保持最优。

模型应用结果如图1～图3和表1所示。结果表明：预见期为6 h的实时外延预报中，取得了提高预报精度的较好效果。2007年洪水中各个水位及流量站的预报结果均有不同幅度的提高：南照集水位误差降低了0.23 mm，润河集、汪集、正阳关、鲁台子的水位误差分别降低了0.10、0.09、0.08 mm和0.36 mm，流量的确定系数均有一定的提高，说明校正模型的建模是合理的，对洪水预报的精度有一定的提高。

表1 Kalman滤波模型实时校正结果比较

图1 润河集站Kalman滤波模型外推6 h预报过程

图2 鲁台子站流量Kalman滤波模型外推6 h预报过程

图3 正阳关水位Kalman滤波模型外推6 h预报过程

3 结论与讨论

本文建立了以一维水动力学模型为基础，以水位作为状态量的滤波器校正模型。对于实际河道中要预报的断面总是多于有实测资料的断面。所以从理论上讲，无法把Qk的统计特性全部估计出来，但状态变量的维数n大于量测变量的维数m，Rk的统计特性可以全部实时地估计出来，建立的滤波模型为自适应滤波模型。将Kalman滤波应用到一维水动力学模型的实时校正中，使用观测变量作为状态向量，状态方程和观测方程很容易从线性化后的水动力学差分方程组改建，从而使用自适应Kalman滤波实现实时校正，达到提高精度的目的。在淮河的应用表明，它比原水力学模型预报精度得到了提高。