余景原，王子玮，许国泰

(上海市信息网络有限公司，上海 200081)

0 引言

作为无线通信系统中必不可少的射频端组件，射频带通滤波器(Bandpass Filter，BPF)[1]的设计开发成为关系到整个射频端乃至整个无线系统开发成功与否的重要环节。通常对于频率低于1 GHz的射频滤波器可以采用基于电感(L)、电容(C)等集总参数元件的归一化低通滤波器(Lowpass Filter，LPF)作为原型(Prototype)进行设计[1-2]，但由于集总参数元件的频率限制，对于蓝牙[3]、WLAN[4]、WiFi[5]等工作在微波射频频段(2.4 GHz)的无线通信系统而言，通常无法使用集总参数原件，而必须使用微带线、波导等分布参数传输线来构造实际滤波器[6]。因此，即使可以使用传统的滤波器设计理论获得集总参数原件L和C的理论值，也无法直接用于分布参数射频带通滤波器的设计，必须推导分布参数的电路模型。

与集总参数电路不同，在设计分布参数谐振器等电路时使用的主要参数是谐振频率，谐振器间的耦合系数，以及电路输入/输出端口处的外部Q值[1-6]。文章从传统的基于集总参数滤波器模型出发，建立一个基于各个谐振器的谐振频率，谐振器间的耦合系数以及外部Q值的射频滤波器模型。通过推导给出这些分布参数与传统滤波器设计理论中的归一化低通原型滤波器参数(L和C)的关系。为了摆脱复杂烦琐的公式推导，在建模(公式推导)中选用了一种在斯坦福大学的机器学习课程中被推荐的，功能上几乎等同于Matlab[7-8]的开源免费科学计算软件Octave[8-9]。归功于其强大的数值和符号计算功能，有效提高了设计速度和效率。论文在给出基于Octave的具体推导过程的同时，也给出了可用于2.4 GHz无线通信系统的发夹型微带滤波器的设计实例。通过仿真结果与实测结果的比较来验证模型以及仿真设计过程的有效性。

1 基于Octave的射频带通滤波器的理论建模与综合设计

1.1 基于集总参数LC的低通原型滤波器

由于射频带通滤波器模型需要从传统的滤波器模型开始推导，首先介绍传统的基于集总参数LC的归一化低通原型滤波器。图1中给出了一个由并联C开始，串联L和并联C交替连接构成的阶梯状电路。在输入端1-1’接入电源和电源电阻R0，在输出端2-2’接入负载电阻Rn+1后就可以构成2端口网络。根据电路理论[1-2]可知，此2端口网络具有低通频率特性，我们把这样的电路作为归一化低通滤波器的原型电路。其中，把包括输入输出端电阻在内的所有电路元件从左到右顺次用gi(i=0～n+1) 来表示。其中，gi的值可根据希望实现的滤波器种类来选取。比如，若要实现等波纹(切比雪夫)滤波器，其理论传递函数(S21)和理论反射系数(S11)由(1)给出

(1)

(2)

β=ln[coth[0.25·ln(1+ε2)]],γ=sinh[β/(2n)]

(3)

1.2 基于串联L和K变换器的低通原型滤波器

为了获得适用于分布参数滤波器设计的模型，作为过渡模型，从图1的传统模型开始，继续推导一种基于串联L和K变换器的低通原型滤波器。图2(a)中给出2端口网络元件K变换器[1-2]的ABCD矩阵。经过简单的推导可以知道，若在K变换器的端口2处连接负载ZL，在端口1的输入端所看到的输入阻抗则为Zin=K2/ZL。因此，若K为实数，ZL为电容性元件，则Zin转换为等效的电感性元件，反之亦然。即，K变换器可应用于电容性元件和电感性元件之间的等效转换。图2(b)中给出了利用串联电感L和两个K变换器来等效并联电容C的等效变换。应用图2(a)中的等效变换，把图1中的所有并联电容用串联电感L和K变换器替代后，可得到图3中的基于串联L和K变换器的低通原型滤波器模型。为了获取图3与图1中的电路模型之间的各元件值之间的对应关系，需要进行公式推导，对于这个烦琐的过程，借助Octave的符号运算功能[8]。以下给出推导过程。

图1 基于集总参数LC的阶梯状电路的归一化低通

(a) K变换器的ABCD矩阵及阻抗变换特性

图3 基于串联L和K变换器的低通原型滤波器

%

syms W R0 g0 g1 La1 Z22 Z12 K01 La1 real%定義变量

Y11 = (1/Z22 + j*W*g1)/g0 %计算图1中的Y11

Y01=1/( K01^2/ (Z12+j*W*La1)*R0) %计算图3的Y01

eq1 = real( Y11 ) - real( Y01 ) %建立实部方程

eq2 = imag( Y11 ) - imag( Y01 ) %建立虚部方程

[KK01] = solve(eq2 == 0, K01) %求解虚部方程eq2

%

%

syms Y33 Z23 g2 K12 La2 real %定义实数变量

vK01 = KK01(2) %把K01的结果保存在vK01中

ZZ22 = 1/Y33 + j*W*g2 %计算图1的Z22

ZZ12 = K12^2/(Z23+j*W*La2) %计算图3的Z12

eq3=real(subs(eq1, {Z22,Z12,K01},{ZZ22,ZZ12,vK01}))

eq4=imag(subs(eq1, {Z22,Z12,K01},{ZZ22,ZZ12,vK01}))

[KK12, ZZ33] = solve(eq3 == 0, eq4 == 0, K12, Z33)

%求解方程组获得K12和Z33

%

通过相似的推导过程，可以获得图3中的低通原型滤波器的K变换器的K值与图1种的原型低通滤波器的元件值的关系式。

(4)

其中R0，Rn+1，Lai可以任意选择。这里由于使用Octave进行推导，使得原来烦琐的推导过程变得非常容易。

1.3 利用频率变换获得带通滤波器理论模型

设计带通滤波器时，需要通过对低通原型滤波器模型进行频率变换来获得带通滤波器的理论模型。在具体操作上，需对低通原型滤波器的理论特性(1)(2)中的归一化频率用以下公式代换[1]。

(5)

由于图3中仅有串联L的阻抗与频率有关，在对原型滤波器进行频率变换时，仅需要把其中的串联L替换成串联LC谐振电路。带通滤波器的电路图在图4中给出，元件值由下式给出：

(6)

1.4 射频带通滤波器的理论建模

在1.1中已经指出，由于射频滤波器的实现需使用分布参数元件，因此为了推导出适合于射频带通滤波器的模型，需要把图4中的集总参数L，C，K转化成谐振器的谐振频率f0，谐振器间的耦合系数kij，以及端口处的外部Qe值。

图4 基于K变换器和串联LC电路的带通滤波器

从图4可知，第i个串联LC谐振器的电抗参数Xi(ω)可以由下式给出：

(7)

定义如下电抗斜率参数(reactance slope parameter)

(8)

把(8)代入(4)，可以获得如下的Ki,j计算公式：

(9)

其中R0，Rn+1，χi(i=1,...,n)可以取任意数值。

图5(a)给出了耦合串联LC谐振器与K变换器的等效变换，图5(b)给出了包含K变换器和电源部分的串联LC谐振器等效电路。把图5(a)(b)的等效变换应用于图4的电路，可以获得图5(c)的基于谐振频率f0，外部Qe, 谐振器间的耦合系数kij的带通滤波器模型。通过简单推导可获得以下设计公式：

(10)

以上公式推导都通过Octave完成，由于和前面给出的程序例相似以及篇幅原因，这里不再赘述。

2 设计实例及分析

为了验证图5中给出的用Octave导出的射频带通滤波器理论模型以及相应公式的正确性，应用这个模型设计了一个用于2.4GHz频段(蓝牙，无线WiFi，车辆警报器系统等通信系统所利用的频段)[3-5]的带通滤波器。所设计滤波器的中心频率为2.45GHz，相对带宽为11.2%。具体设计步骤如下：

(1)选择9阶切比雪夫函数作为带通滤波器的理论目标函数。把n = 9代入(2)和(1)，选择波纹系数=0.107(0.05dB)获得低通原型滤波器的理论特性。然后应用(5)中给出的频率变换公式，选择中心频率f0=2.45GHz，相对带款FBW=0.112，便可获得所需设计的带通滤波器的理论特性(图7中的直线)。为了方便读者，在附录中给出了基于Octave的带通滤波器理论特性的计算程序，并给出必要的说明。

图5 射频带通滤波器的建模

(2)使用图6中给出的微带发夹型滤波器结构来设计带通滤波器。由于要实现9阶切比雪夫滤波器，需要9个发夹型谐振器，在输入和输出端，选用平行耦合线结构。滤波器的等效电路在图5(c)中给出，所有的谐振器的谐振频率都设定为滤波器的中心频率f0=2.45 GHz，输入端和输出端的外部Qe值以及第i和i+1个滤波器之间的耦合系数ki,i+1(i= 1，…，8)可由(10)获得，其中gi(i=0，…，10)需通过(3)获得(n=9)。

图6 9阶切比雪夫发夹型微带滤波器的实物图

(3)选择介电常数2.2，厚度0.787 mm的基板设计实际的微带滤波器。根据步骤(2)中所获得的外部Qe以及耦合系数ki,i+1(i= 1，…，8)，可以获得滤波器的物理尺寸的初值，然后通过电磁场仿真软件[9-10]进行优化，从而获得最终的尺寸。由于软件仿真优化偏离文章主题以及篇幅的限制，对这一部分的说明予以省略。最后通过蚀刻(etching)工艺实际制作滤波器。图6中给出了实物照片。然后使用网络分析仪测量S参数，并在图7中与理论特性进行比较。

图7 图6中的切比雪夫滤波器的理论特性与实测结果的比较

从图7中可以得到以下结论：(1)实验结果和理论结果较好地吻合，证明了使用Octave推导出的射频滤波器模型以及综合设计公式是有效的。(2)实测结果的带通特性具有2 dB左右的插入损耗，这主要是由所使用基板的介电材料的损耗以及金属(铜)损耗而引起的。(3)可以发现实测结果的阻滞特性与理论特性存在一些差异，由于误差主要发生在-50 dB以下的区域，推测是由于电路的制造误差以及测量误差所造成的。另外必须应该指出，由于阻滞特性好于-50 dB，即使和理论特性存在误差，也完全不影响滤波器的实际使用性能。

3 结语

文章使用与Matlab具有相似功能的免费开源科学计算软件Octave，推导出适合于设计基于分布参数射频带通滤波器的电路模型以及相应的综合设计公式，给出了基于Octave的详细推导过程，并附上源程序。为了验证导出的模型以及综合公式的有效性，笔者设计了一个9阶切比雪夫梳发夹型微带滤波器，并做了实验。实验结果和理论结果吻合得较好，从而证明了推导出的理论模型以及综合设计方法以及Octave作为计算工具的有效性。

另外，由于Octave的强大功能，使得公式推导以及滤波器的综合设计过程变得非常方便、快速，大大提高了设计效率，降低开发成本，有效缩短了开发周期。相信Octave可以被广泛应用于更多的工程设计领域。

附录：图7中的切比雪夫滤波器的理论特性的Octave计算程序

%运行以下Octave程序需要安装GNU Octave以及symbolic package。具体安装过程请参见参考文献[8]。

%

pkg load symbolic %加载符号运算模块

n=9; %设定切比雪夫滤波器的阶数

epr=0.10761; %设定波纹系数

ff=-5:0.001:5; %低通原型滤波器的频率范围

ww=ff.*(2*pi); %角频率范围

Wc=1; %低通原型滤波器的截止角频率

wc1=2.32*2*pi; wc2 = 2.61*2*pi; %把所设计的带通滤波器的截止频率2.32 GHz和2.61 GHz转化成角频率

w0=(wc1*wc2)^0.5; %设定中心角频率(公式(5))

FBW=(wc2-wc1)/w0; %设定相对带宽(公式(5))

WW=Wc./FBW.*(ww./w0-w0./ww);%LPF->BPF变换公式(公式(5))

Hs=epr*(cos(n*acos(WW))); %滤波器的切比雪夫理论传递函数(式(2))

s21_2=(1./(1+(abs(Hs).^2))); s11_2=(1-s21_2); %式(1)

ls21=10.*log10(s21_2); ls11=10.*log10(s11_2); % dB

plot(ff, ls21,ff, ls11); %绘制滤波器的理论曲线

axis([2 3 -60 0]); %x，y轴的范围设定

title(‘BPF’); %添加图像标题

xlabel(‘Frequency(Hz)’); %添加x轴标题

ylabel(‘|S21|&|S11|(dB)’); %添加y轴标题

legend(‘S21’,‘S11’); legend(‘Location’,‘northwest’) %设置图例

set(gca, “fontsize”, 20) %设置字体大小

%