周迪

摘 要：上世紀八十年代至本世纪初，有学者利用某平面上三点来计算该平面产状，受当时计算机普及的条件，该方法由于计算量过大，倾向方位角判别条件复杂等特点而没有受到广泛应用。现如今，随着计算机的广泛应用，通过对坐标系统的简化，利用解析几何思想来计算地质体产状，大大减少了计算量，精简了倾向方位角判别条件，使得该方法的应用性大大提高。该方法是在高精度数学测量的基础上，通过对地质体层面进行几何建模，利用空间方向向量来解析地质体层面，利用反三角函数估算地质体层面倾向、走向及倾角。通过该方法，可对稳定的地层、磁性矿体及某些特殊的结构面等进行产状估算。

关键词：测量;产状;应用;三点解析法

1 绪言

为获取某地质体产状，传统的方法是地质人员在野外采用罗盘法测量确定，该方法测量精度受地质体产状波动、测量人员水平、罗盘精度等多方面的制约。王凤艳[1，2]等人通过统计罗盘测量倾向、倾角中误差分别为4°和3°。其次，罗盘法测量工作量极大，并且只能对接触类地质体进行测量，对高大地质体上部、掩盖地质体等非接触地质体则爱莫能助。随着近些年测量技术的高速发展，高精度RTK测量、免棱镜全站仪、三维激光数字扫描仪、近景数字摄影测量、高精度遥感等测量技术的发展为野外工作提供了极大的便利，不仅对非接触类地质体进行测量，而且大大减小了工作量，提高了工作效率。

通过高精度数字测量技术在地质体层面上采集三个点的三维坐标，通过平面向量解析对层面进行产状估算（即“三点解析法”）。本方法是在前人成果[3，4]的基础上，通过对坐标系进行简化、方向向量的确定来减少计算量及简化倾向方位角的判别方法。

2 几何模型的建立

2.1 平面坐标系统

由于我们的地球，是一个近似于梨形的不规则的椭球体，而我们平时处理的都是二维平面上的地物要素，因此我们需要将球面上的点通过某种数学函数关系将其简化至平面上，也就是地图投影变换。地质学上常用地图投影方法主要为高斯—克吕格法[5]。高斯—克吕格投影就是取中央经线与赤道的交点为原点，中央经线为纵坐标轴（北为正方向，X轴），赤道为横坐标轴（东为正方向，Y轴），构成高斯—克吕格平面直角坐标系，高程坐标轴以大地水准面为原点（向上为正方向，Z轴），详见图1A版地质体几何化模型三维视图。

2.2 自定义坐标系统

为了方便理解及简化计算，将高斯—克吕格平面直角坐标系统进行简化平移。具体方法：在某一地质体层面上测量三个点的三维坐标后，选择标高最低点作为新原点，以北方向为X轴正方向;东方向为Y轴正方向，构成新的平面坐标系统，向上为Z轴正方向，见图1A版地质体几何化模型。自定义坐标的建立就是将地质体层面简化成通过自定义坐标系统原点的平面。

2.3 地质体产状

地质体层面产状除水平岩层呈水平状态产出外，其它地质体层面产状均以其走向、倾向和倾角表示。

走向：地质体层面与水平面的交线，或该层面上水平线的方向即为地质体层面走向。因两端所指方向均为走向，因此走向由相差180°的两个方位角来表示，走向方位角取值范围为[0°，360°）。图1A版中OA、OB为走向线，所指方向即为走向方位角。

倾向：垂直于走向线向层面下方引垂线为该层面的倾斜线，倾斜线在水平面上投影即为倾向线。图1中OD为倾斜线，OD为倾向线，以O点为顶点，D点在水平面上以逆时针方向旋转至X轴正方向所形成的角度为倾向方位角。图1A版中OD与X轴正方向的夹角（β），倾向方位角β取值范围[0°，360°）。倾向与走向之间垂直，即走向=倾向±90°。

倾角：倾斜线与其水平面上投影（即倾向线）的夹角，或层面与水平面的夹角即为倾角，图1中∠DOD为倾角（α），倾角α取值范围[0°，90°]。

3 “三点解析法”计算过程

首先，我们在目标层面上测量不在同一直线三个点坐标，P（x1，y1，z1）、Q（x2，y2，z2）、O（x3，y3，z3）。先将坐标系统进行简化。图1A版中我们以O点标高最低为例，即以O点为新原点，以北方向为X轴正方向，以东方向为Y轴正方向，以向上为Z轴正方向做新坐标系统。在新坐标系中O点坐标为（0，0，0）;P点坐标为（x1- x3，y1- y3，z1- z3），简化表示为（x1，y1，z1）;Q点坐标为（x2- x3，y2- y3，z2- z3），简化表示为（x2，y2，z2）。通过O点分别向P点，Q点做向量OP，OQ，则向量OP可表示为（x1，y1，z1）;向量OQ可表示为（x2，y2，z2）。在这里需验证三点不能在同一直线上，即OP≠λOQ（λ为任意常数）。

其次，引入平面法向量来解析目标层面，即垂直于目标层面的方向向量n来表示。由于方向向量n垂直于层面，因此方向向量n垂直于向量OP，OQ，就有以下行列式：

n=OP×OQ=

上式展开得：（y1 z2- y2 z1）i+（x2 z1 -x1 z2）j+ （x1 y2- x2 y1）k，化简得：n=Ai+Bj+Ck（i，j，k分别是平行于X、Y、Z轴的单位向量），即方向向量n（A，B，C）（A、B、C不能同时等于0，若同时等于0，说明三点共线，应重新选择三个点）。

根据地质体倾向的性质，方向向量n取指向Z轴正方向或垂直于Z轴的方向向量。因此取C值大于或等于0的方向向量，若C=0，则表明该地质体层面垂直于XOY平面，则地质体倾角为90°;若使C值大于0，可采用以下方法：

（1）若通过计算后C值小于0，即方向向量指向下方（Z轴负方向），可通过取该向量的反向向量-n（-A，-B，-C）做平面的方向向量。

（2）采用图解法：将野外测得的三点数据投影到平面上，选标高最低点分别向另外两点做向量。采用向量乘积右手定则（见图2向量右手定则）来确定指向上方方向向量n=OP×OQ，反之用n=OQ×OP。

在计算出方向向量n（A，B，C）（这里C取值大于或等于0）后，即可计算地质体产状。根据图1B版中角度等价关系，向量n与Z轴夹角等于地质体层面倾角α=arccos[C/ （A2+B2+C2）1/2]。由于C大于等于0，故α取值范围[0°，90°]，与倾角取值范围相同，故夹角α即为倾角;OD与X轴正方向夹角β= arccos[A/ （A2+B2）1/2]。由于向量夹角β取值范围[0°，180°]，与倾向方位角[0，360）不符，因此讨论：当B大于等于0时，夹角β值即为倾向方位角;当B小于0时，360°-β值即为倾向方位角;走向方位角=倾向方位角±90°，由于走向方位角取值范围为[0，360），因此在计算走向方位角位角值小于0°或大于360°时，应通过计算值±360°纠正。

该方法适用于一般地质体产状要素的测量，但地质体应满足以下条件：（1）欲测地质体层面起伏变化不太大，大致为一平面;（2）能在该面上找到不在同一直线上的三个点，并且能测量或计算各点的三维坐标值。

在实际中，地质体层面产状往往复杂多变，如呈舒缓波状的断层，受小褶皱影响的地层，呈下缓上陡的边坡、滑坡面等，其层面产状因测量位置不同而产状不一。采用三点解析法是将目标层面在三个点范围内进行平面化，即认为在O、P、Q三点范围内的平面是平直的平面（见图3不规则地质体平面化）。

4 “三点解析法”的应用

4.1 地层产状的估算

首先要确定地层的稳定性，地层在遭受地质构造运动影响形成不稳定、不连续、产状变化较大的地层时不能使用该方法进行计算。只有在地层产状稳定，断裂构造不发育，褶皱构造不发育或只受单斜构造影响时可使用本方法进行估算。具体方法：可在地层走向方向上選择两点，在倾向方向上选择一点，选点位置一般应在地层与下伏地层接触界线上选择，通过高精度数字测量测得三点坐标后，通过三点解译法计算地层产状。在同一地层上不同位置测量若干个点，通过选择不同的三个点分别计算，若多次计算后地层产状变化较小，则计算平均值做为该地层产状;若多次计算结果变化较大，则表明该地层可能遭受构造影响产状有一定的变化，可在该地层上不同部位选择多个点进行分段估算地层产状。

产状平缓地层（倾角小于10°），在野外测量产状时有一定的难度，亦可采用三点解析法估算其产状。

4.2 磁性地质体产状估算

要计算的磁性矿体应为板状、层状或似层状的稳定矿体。由于在磁性体附近罗盘失灵，无法直接测量磁性矿体产状，可采用三点解析法进行产状估算，具体方法是在磁性矿体与围岩接触带上（三点位置应同在矿体上盘或下盘选择）选择不在同一直线的三个点，通过高精度数字测量三点坐标后，采用三点解译法估算磁性地质体产状。

4.3隐伏矿体产状估算

在实际工作中，我们常常会遇到由物化探等异常圈定通过钻探工程揭露的隐伏矿体。这些矿体往往只有少量的工程控制，矿体形态不清，因此我们可采用三点解析法近似预测其产状，为下一步探矿工程部署提供参考，具体方法是在同一矿体上选择三个见矿工程，通过计算各工程见矿中心点位置选取三个点，再用三点解析法计算矿体产状。由于某些隐伏矿体产状往往多变，特别是受构造控制的有色金属、贵金属矿体，在选用此方法时，应尽可能选择小范围内的工程，可选择相邻勘探线上的相邻工程进行计算，大致估算矿体总体产状。

4.4 某些特殊结构面的计算

结构面是指地质体内形成的具有一定的延伸方向和长度，厚度相对较小的界面。主要包括断层面，不整合面，节理面，工程力学软弱结构面，高陡边坡面，露天采场边坡面，地裂缝结构面，滑移面等。以上结构面往往产状较化较大，可在范围内选择三个点来估算其总体产状，或在小范围内估算局部产状。

5 结论

（1）“三点解析法”突破了人工使用罗盘法测量的局限性，可减少野外工作人员劳动强度，提高工作效率。

（2）选点位置对产状估算结果具有很大影响，因此在选点过程中选择最能代表反映地质体总体产状的三个点进行计算。

（3）基于高精度数字测量技术，使得计算结果更为准确。但不可忽略的是该方法的理想模型化，对地质体层面产状变化往往考虑不周，具有一定的局限性。

（4）通过对平面方向向量的确定，可大大减少倾向方位角判别方法。

参考文献：

[1]王凤艳，陈剑平，等.基于VirtuoZo的岩体结构面几何信息获取研究[J].岩石力学与工程学报，2008，27（1）：169—175.

[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉大学出版社，2009：1-3，13—20.

[3]董兆岗.通过空间一平面内三点坐标计算该面产状[J].云南地质，2000.19（3）：304—307.

[4]李海光.用数学计算法求岩（矿）层产状要素[J].地质与勘探，1985.06：46—48.