鲁芳旭 刘翠海

摘要：主要介绍RS码的编译码原理，并基于Matlab进行仿真实现，同时构建了含有BPSK调制的通信系统，对有无编码的通信系统进行仿真和性能分析，发现该码型对通信系统的传输特性有一定程度的改善。通過比较分析，对该码型的纠错性能有了更全面的认识，有利于更好的研究和应用RS码。

关键词：信道编码;RS码;纠错性能

中图分类号：TN911.22 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2020）08-0025-03

0 引言

RS码是一类纠错能力很强的多进制BCH码[1]，其纠错能力和编码效率在线性分组码中是最高的。RS码特别适合用于多进制调制的场合[2]，同样适用于在衰落信道中纠正突发性错码[3]。与此同时，RS码能用来构造其他码类，如级联码。由于其具有以上优良性能，目前已被广泛应用在各种通信系统和计算机存储系统中。

1 RS码的编译码原理及数学模型构建

RS码是一种特殊的多进制BCH码。设p为素数，q=pm，那么由伽罗华域GF（q）产生的码就称作q进制码。二进制BCH码的码长为n=2m-1，若要纠正t个错码，则需要2t个监督码元。同理在q进制码中，码长为n=qs-1，若要纠正t个错码，则需要2st个监督码元，当s=1时的q元BCH码称为RS码，属于非二元BCH码。

1.1 RS码的编码

RS码是循环码的一种，因此其编码方式与一般循环码的编码方式一致。

一个（n，k）RS码的生成多项式g（x）为：

g（x）=（x-α）（x-α2）…（x-a2t）=（x-αi）

其中αi是伽罗华域GF（2m）={0，α0，α1，…，α2m-2}中的一个元素，t为RS码能够纠正的错码个数。

信息多项式m（x）为：

m（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m1x1+m0

用m（x）除以g（x），所得余式为校验多项式h（x），将h（x）置于m（x）之后，即生成了RS码。

编码后的码字多项式c（x）为：

c（x）=xn-km（x）+h（x）=xn-km（x）+[xn-km（x）]modg（x）

1.2 RS码的译码

RS码是一种非二元循环码，它不再具备特征为2的域运算等性质[4]，本文RS码译码算法基于PGZ译码算法，主要分为以下4步：

1.2.1 计算伴随式sk

RS码的伴随式是接收码字r（x）除以生成式g（x）所得的余式。对于RS码共有2t个伴随式。

假设r（x）=r0+r1x+…+rnxn-1

则错误图样为：

e（x）=r（x）-c（x）=e0+e1x+…+en-1xn-1

设e（x）含有v个错误（非零元素）且分别位于 ，则e（x）=++…+

RS码的2t个伴随式通过把αi代入r（x）得出，即：

若sk=0，则认为接收无误，否则由sk找出错误图样。

1.2.2 计算错误位置多项式σ（x）

由于上式直接求解比较困难，故转化为-组线性方程进行求解。令Xi=αji（i=1，2，…，v）表示第i个错误位置数，e1，e2，…，ev表示错误值。定义错误位置多项式σ（x），它的根是错误位置数的倒数，即：

σ（x）=（1+X1x）（1+X2x）…（1+Xvx）=σ0+σ1x+ σ2x2+…+σvxv

计算σ（x）的通用方法是BM迭代算法，通过Matlab编程即可实现。

1.2.3 确定错误位置

计算得到上式的系数后，令σ（x）=0求得其根，就可以得到错误位置。由于分解因式的复杂性，一般通过钱氏搜索法求解σ（x）的根，得到错误位置数，确定出错误位置。

接受码字由高位至低位逐位译码，为了译rn-1，码器测试αn-1是否为错误位置数，也就是检查其倒数α是否为σ（x）的根，若α是σ（x）的根，则：

1+σ1α+σ2α2+…+σvαv=0

因此，译码器计算σ1α，σ2α2，…，σvαv，若满足上式，则αn-1为错误位置数，rn-1为错误码元，这样就由错误位置数确定了错误位置。

1.2.4 计算错误数值

上一步确定了错误位置，接下来需要计算错误数值，设z（x）=1+（s1+σ1）x+（s1+σ1s1+σ2）x2+…+（sv+σ1sv-1+ …+σv-1s1+σv）xv

求解后根据错误位置和错误数值得出错误图样e（x），根据发送码字c（x）=e（x）+r（x），完成译码。

2 仿真实现

2.1 伽罗华域及其基本运算的仿真实现

前面介绍的RS码的编译码数学模型都是在伽罗华域内进行，因此在仿真实现中首先要构造伽罗华域。由于RS码的编译码进行了大量多项式元素的加法、乘法、倒数运算，这些运算均在伽罗华域GF（2m）中进行，因此其加法运算对应的是模2运算，其乘法运算对应的是指数模2m相加，上述运算可以通过编程实现。

2.2 RS码编码的仿真实现

编码方式选择RS（15，11），利用11个符号得到长度为n=15能纠正t=2个错误的编码，码元符号取自域GF（24），即m=4。其编码的仿真实现调用了Matab函数polydiv_rs，该函数的矢量参数表示多项式各项的系数，按照多项式次数从低到高的顺序排列。

2.3 RS码译码的仿真实现

相较于编码，RS 码的译码过程较为复杂，通过前文介绍已知主要分为四个步骤：（1）计算伴随式sk;（2）计算错误位置多项式σ（x）;（3）确定错误位置;（4）计算错误数值。其中第（2）步的实现基于BM算法，第（3）步的实现基于钱氏搜索法，均可通过Matlab编程来完成。

2.4 仿真结果

本文选择了二进制相位调制（BPSK），用高斯信号源仿真噪声，在该通信系统下，观察有无RS码两种条件下的信噪比-误码率（SNR-BER）曲线图，得到仿真结果由图2所示。

3 结语

本文较为详尽的介绍了RS码的编译码原理，通过构建数学模型，利用Matlab平台完成了RS码编译码的仿真实现。与此同时，构建了含有BPSK调制的通信系统，通过对有无RS码的通信系统进行仿真和性能分析，发现在相同SNR条件下，有RS码的BER明显低于无RS码的BER，说明RS码能有效提高信号传输的可靠性，这为合理设计RS码的编译码方案提供了理论基础，更为进一步研究和利用RS码的抗突发干扰能力提供了有益参考。

参考文献

[1] 樊昌信，曹丽娜.通信原理（第7版）[M].北京：国防工业出版社.2014：375.

[2] 刘翠海，温东，姜波.无线电通信系统仿真及军事应用[M].北京：国防工业出版社，2013：141.

[3] 郑相全，段文.Reed-Solomon码性能增强译码算法[J].无线电工程，2019，49（2）：128-132.

[4] 郭洁，唐磊.Reed-Solomon码的编译码实现及仿真[J].中国科技纵横，2009（11）：622-625.