摘要：数学学科“关键能力”包括特征分离概括化能力、关系定性特征化能力、新元添加连续性能力和结构关联相关性能力等理性素养，通过变革数学实验行为目标，培养学生的“关键能力”，有助于学生的全面发展和必备品格的形成。

关键词：数学实验;关键能力;教学变革;课例研究

中图分类号：G420 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）09B-0039-05

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确界定，核心素养是学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。在数学实验教学领域，如何培养学生的“关键能力”及其背后的“必备品格”是变革的关键。具体来说，通过数学实验培养的学科关键能力包括特征分离概括化能力、关系定性特征化能力、新元添加连续性能力和结构关联相关性能力。通过关键能力的培养，构建数学实验教学育人范式及其产生式形成，进而实现数学实验的教学变革。这里的“产生式”，是指条件与动作的联结，即在某一条件下会产生某一动作的规则，它由条件项“如果”和动作项“那么”构成，即在满足某个条件的时候，我们做出某个行动。（见表1）

本研究以苏科版义务教育教科书《数学》八年级下册“三角形的中位线”的教学为例，旨在落实数学实验教学培养学生核心素养的目标。图1所示的框架模型可以达成的目标表现在以下四个方面：一方面，通过“做数学”和感知数学，发展辨别直觉、美的直觉和关系直觉，落实概念本质属性的把握及其产生式形成，培养特征分离概括化能力;另一方面，通过提出问题及其逆问题意识，落实工具性理解、概念性理解以及关系性理解，强化主体、环境、行为之间的思维交往互动以及透视本质属性能力，培养关系定性特征化能力;再一方面，通过高阶思维（分析、评价与反思），提高同化和顺应概念的组织能力，落实深度学习及其审美需要的内驱，培养新元添加连续性能力;最后，通过“使用数学”（应用数学、关联数学和结构数学），发展创新意识、决策意识以及反观审辩意识（批判意识），落实结构关联能力，建构心理系统概念群和心理结构概念图。

数学观、数学教育观的一般观念和人的关键能力的一般概念，都直接来自人性的实践理性。因此，通过数学实验培养关键能力，可以实现必备品格的养成和满足人性审美的需要。

一、特征分离概括化能力

在数学实验教学研究范畴，特征分离概括化能力属于序的直觉范畴，即通过“做数学”和“思考数学”，经历“分离”“概括”的心理过程，剔除概念的非本质属性，直观感知概念的本质属性特征，并进行思维辨别与缓存，终于概念的直觉把握和有序发生。毋庸置疑，在“‘做数学”的具身条件下，“分离—概括”本身就是一种美的选择，既有关系直觉成分，又有真伪直觉成分，而“证伪”是一种邏辑属性的学习素养，属于学会学习素养范畴。因此，就这一理解来说，数学实验教育不仅仅是帮助学生理解数学，更在于数学直觉素养的培养，有助于概念本质的洞察与直接把握，这就是“直观的懂”。在徐利治先生看来，“数学直觉=美的直觉+关系直觉+真伪直觉”[1]，这就把数学实验价值提高到学会学习层面。换言之，在数学实验教学研究者看来，真伪直觉的证伪过程就是剔除概念非本质属性的过程，而美的直觉的建立过程就是做数学的直接选择过程，关系直觉的确立过程就是概念本质属性得以把握的过程，标志着“经历”了数学概念发生及其数学思考的方方面面。

有学者通过研究，从发展“关键能力”目标层面指出，基于学生核心素养发展的教学目标的表述，可以在目前的教学目标的内容（学科知识）与行为（认知、技能和情感变化）维度基础上，加入“情境维度”[2] 。这就要求数学实验教育在实验目的层面添加素养属性的能力目标，才能将关键知识转化为关键能力及其支撑关键能力的必备品格，终于分离概念、概括概念能力体系的上位发展。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程基本理念部分指出，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。显然，就数学实验教学论来说，观察实验、推理验证等是分离概念本质属性与非本质属性的逻辑过程，概括是概念属性特征获取的主要方式，有助于直观想象素养的培养，有助于直觉数学逻辑的发展，终于关系直觉等关键能力的发展。为此，当下数学实验教学在概括概念的本质特征层面必须做好三个层面的工作：一是数学地“动手做”，建立概念辨别直觉;二是数学地“动眼看”，建立概念美的直觉;三是数学地“动嘴说”，建立概念关系直觉。最终达到分离概括概念的本质属性特征目标，进而体认和把握概念的直觉信息。

不妨以“三角形中位线的‘发生概念实验块”为数学实验清样，说明特征分离概括化能力培养的重要意义，不止于帮助理解数学，还在于序的直觉能力产生式形成。具体实验操作线索如下：第一，任意画一个三角形，并剪下来;第二，在平面内是否存在一条裁剪线，将这个三角形纸片分成两部分，能拼成一个平行四边形？第三，如果存在，这条裁剪线有何特点？裁剪线与第三边有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由。不难理解，“画”和“剪”是初中段动手做数学的通用技术，为概念的特征分离与概括提供直觉信息;“存在性的”确认过程是动眼看的“视思维”结果形态，“裁剪线”的确立过程是美的直觉选择行为，是分离概念特征的一个具体表现;描述“裁剪线特点”和概括“与第三边关系”及其说理，是概括概念特征的一般方式，有助于三角形中位线概念特征的本质把握，很好地发展了关系直觉。其实，在初中段数学实验课堂，只有转向让学生在具身知觉学习中有思维地、自然地发生概念，在概括中分离，在分离中概括，方能发展数学直觉等关键学科能力。正如人民教育出版社编审章建跃所说，“课堂教学中，‘自然的过程来源于数学知识的发生、发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程”[3] 。

二、关系定性特征化能力

数学实验关系定性特征化能力是让学生从概念的实际背景出发，通过思维地做数学，在提出序列相关问题及逆向补偿问题的基础上，发展概念的数学内部关系，秉持从特殊到一般的思想方法，组织提炼一类事物的共性特征，进而淡化形式，把握概念的类属本质，实现从“工具性理解”到“关系性理解”，并真正“把”“握”概念。以逻辑学的视角来看，这里的“工具性理解”是“关系性理解”的必要而非充分条件。在R.斯根普看来，“数学工具性理解就是一种程序性理解，也就是一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作的问题;而数学关系性理解，则还需要加上对符号意义或替代物本身结构上的认识”[4] 。在数学实验教学中，“概念的形成—概念的使用—概念的解释”就是程序性理解的一个例子，是工具性理解的一般技术范式，突出从特殊到一般的理性思维的渗透目标;而“类比关联”“逆向补偿思考”“分类讨论”是关系性理解的执行程序，突出概念的系统性和阶段性特点。“拼图·公式”就是关系性理解的一个特例。事实上，就数学知识的学习而言，概念的理解应当定位于“关系性理解”，只有从工具性理解上升到关系性理解，学生才能把握数学对象的本质。换句话说，让学生基于做的经验，获得概念关系定性特征的本质，实现概念系统化结构化目标。

在传统的数学实验教学中，人们更多地倾向于做的感性形式，引发“现象性的玩”，甚至产生“去数学化”现象，这就无法体现出数学的理性精神。事实上，“感性行为”背后的“理性思维”才是数学实验教学的本体价值，这也是数学实验教学培养学生“关键能力”的价值支撑。在郑毓信教授看来，“实践活动，包括感性经验构成了数学认识活动的重要基础”[5] 。就认知层面来说，利用学生的生活经验有助于他们理解和掌握概念和知识。这就在一定层面强调数学实验的教育价值，不止于先验性组织行为，更在于演绎性理解，最终实现理性特征关系的定性与把握。也就是在概念形成过程中，数学实验为概念的形成提供了感觉、知觉和表象的基础，通过不断地分析综合、非连续抽象概括等关系特征定性行为，逐步把握一类概念的本质。为此，新的数学实验观重视三个维度的理性思维工作：一是学习主体与思维环境进行交往，落实提出问题目标;二是学习主体间进行思维交往，落实工具性理解目标;三是行为、主体、环境之间的交往，落实逆问题意识目标以及关系性理解目标，终于概念图的重构与组建，进而提升学习主体的理性经验和关键能力。

不妨以“三角形中位线的‘形成概念实验块”为数学实验清样，说明关系定性特征化能力培养的主体价值，不止于感性经验的有序层级，还在于关系性理解产生式系统的定向形成，包括概念的意义组织与建设。具体思维活动线索如下：第一，任意画一个三角形，如何将其分成四个全等的三角形？你还发现了哪些结论？第二，任意画一个四边形，并取各边中点，构造的中点四边形是什么形状？为什么？第三，矩形的中点四边形是什么形状？为什么？菱形呢？正方形呢？等腰梯形呢？经历上述活动，你认为中点四边形的形状与什么有关？为什么？如果说“画三角形—构造全等三角形—发现结论”是主体与文本环境进行思维交往，那么“画四边形—构造中点四边形—理性运演”是主体间的思维交往的普遍范式，“特殊四边形的中点四边形的形状确认与说理”以及一般研究结论（中点四边形的形状是由原四边形的对角线的位置关系和数量关系决定的）的概括提出则是行为、主体和环境之间的立体交往，反映数学实验教学的本质是理性思维的生长与拟经验的发展，最终指向关系定性特征化目标的梯级实现。这与陈重穆等人的数学教育观是一致的，即“义务教育中的数学应该走‘大众数学的路子，即不从概念出发，应从实际出发归纳概念，使学生掌握概念的实质”[6] 。

三、新元添加连续性能力

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”“空间形式”随着变量数学发展的阶段性而不断扩展，“数量关系”的内涵和外延也会发生相应的变化。比如，在有理數研究范畴中，“x2-2”这样的多项式是不能分解因式的。为此，引进了实数运算后，涉及必须把“无理数”作为“新元”补充到原有结构中，才能使之具有严谨的实数体系。而就初中段学生的思维水平来说，无理数很抽象，只有借助数轴的形象功能（将2个面积为1的正方形，剪拼成面积为2的正方形，其边长是无理数，可以用数轴上的点表示），才能显化其内部数学算理，这就是数学实验的理性价值。添加了“无理数”这一新元后，多项式x2-2就可以进行分解了，可分解为（x2+  2 ）（x2-  2 ）。这种指向思想方法属性的数学能力称之为“新元添加连续性能力”。更为一般地说，在数学实验使用概念范畴，站在知识衔接体系论层面，让概念具有前后联系、上下贯通、结构连续的功能特点，并借助“同化经验结构”和“顺应经验结构”的实验心理条件，将规则R应用于一个或多个实验情境，最终实现概念的重组和迁移，落地关键能力培养的目标。

苏联学者亚历山大·洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中，将数学的特点归结为“三性”：高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。这里可以把“逻辑性”解释为数学概念的连续性，“广泛性”解释为添加新元数学的心理前提，而把“抽象表征产生式”转化为数学经验和拟经验体系是数学实验教学变革的关键。也就是说数学实验教学的目标不止于累积基本活动经验，更在于将抽象的思考转化为人的关键能力，这才是数学实验教学应有的价值定位。数学实验教学中的“问题解决”“课题学习”“研究性学习”以及分析、综合、评价等高阶思维行为，都突出新元添加连续性能力的培养功能。事实上，从数学实验的研究过程来看，“数学还具有形象性、似真性、拟经验性、‘可证伪性的特点”[7] 。如何将这些非充分逻辑思考的实验属性转化为可连续的理性的数学实验精神，是当下数学实验教学培养学科关键能力的一个思维抓手。为此，数学实验教学必须做好三个方面的“思维转向”工作：一是在同化、顺应概念中使用概念，实现由非连续性思维转向连续性思维的目标;二是在问题解决中突出添加新元能力培养的新型实验教学目标;三是通过高阶思维培养，实现由感性经验层级转向理性精神生长的目标，渗透通过数学实验教学促进学生“必备品格”发展的育人思想。

不妨以“三角形中位线的‘使用解释概念实验块”为数学实验清样，说明新元添加连续性能力培养的实体价值，不止于感性经验的有序缓存，还在于新元添加能力目标的逐级实现，使得概念结构化、体系化和系统化，终于概念的“完形”把握与概念信息网络化，包括同化概念和顺应概念行为。具体新元添加思维活动线索如下：首先，定义组合矩形。通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”;其次，让学生任意剪一个三角形，并将这个三角形折成组合矩形，并说明折痕的特点;再次，让学生画一个三角形，使其能折成组合正方形，探讨这样的三角形必须具备什么条件，并说出为什么。最后，让学生猜想一个四边形要想折成组合矩形必须满足什么条件，并说出为什么，如果组合正方形又必须满足哪些条件，最终指向通过数学实验促进学生高阶思维发展目标的实现。

Lewis和Smith从心理学的视角对高层次思维的定义是：“高层次思维发生在，当个体需要将新知识和已有知识建立联系，或者改变及拓展这些知识来达到一个复杂的认知目的或者在复杂的情境中发现可能的答案。”[8]毋庸置疑，折“组合矩形”本身是一种新元添加能力的外显（这里把“新元”解释为学习新概念的能力），具有新旧知识联系的连续性特点，投射概念的同化与顺应的结构化意义;折“组合正方形”是在改变拓展知识的一个具体表现，反映问题解决助推新元添加能力目标的实现;“考问四边形折成组合矩形的条件”是在复杂情境中发现可能答案的一个可操作的例子，促进高阶思维的发展和连续性新元能力目标的实现，进而促进新元能力背后的必备品格的发展（变换角度看问题）。换句话说，高层次思维能挑战学生的解释、分析和使用信息解决问题的关键能力，有助于学生扣好实验认知的理性思维的扣子，反哺新元添加能力的实验连续性。

另外，结构关联相关性能力，属于高阶心理活动经验，带有结构性智慧特征，包括创新、决策和批判等审美意识，是复杂思维集合论的重要组成部分，涉及数学实验的审美创造性，这里不予落细研究。习近平总书记2018年在北京大学师生座谈会上的讲话深刻论述了“培养什么人”的重大问题：“培养社会发展所需要的人，说具体了，就是培养社会发展、知识积累、文化传承、国家存续、制度运行所要求的人。”这鲜明地指出了合格人才的政治价值尺度、道德价值力度、社会价值维度和个体价值向度。基于这样的认识高度，数学实验教学变革的关键集中指向两个方面：一方面是数学实验教学的目的不止于基本活动经验的发展，还在于理性数学精神的建立;另一方面是数学实验教学不止于发展直觉能力，还在于培养能力背后的数学品格（数学实验情意信念、高层次思维心理的建立以及审美需要和自我实现需要等道德目标），终于通过数学教学实验促进人的全面发展和健康发展目标的梯度实现。

参考文献：

[1]徐利治.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社， 2012：272.

[2]胡定荣.学生发展核心素养的发展观及其教学变革[J].课程·教材·教法， 2017（10）：56.

[3]余建国.引导学生自然地习得数学概念[J].江苏教育（中学教学）， 2018（3）：45.

[4]马复.试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报， 2001，10（3）：50.

[5]郑毓信.简论数学课程改革的活动化、个性化、生活化取向[J].教育研究， 2003（6）：90.

[6]陈重穆，宋乃庆.义务教育中的数学——大众数学——兼论义务教育《初中数学》教学大纲[J].川北教育学院学报（自然科学版）， 1995，5（4）：2.

[7]章建跃，张翼.对数学本质特征的若干认识[J].数学通报， 2001（6）：5.

[8]常磊.国内外高层次（数学）思维研究述评[J].数学教育学报， 2016（5）：10.

[9]习近平.习近平在北京大学师生座谈会上的讲话（2018年5月2日）[N].人民日报， 2018-05-03（02）.

责任编辑：丁伟红

Research on the Reform of Mathematics Experimental Education

Based on the Cultivation of “Key Ability”

SUN Chaoren

（Suzhou Institute of Education Science， Suzhou 215004， China）

Abstract： In the mathematical experiment education research categories， “key ability” includes generalization ability of characteristic separation; relationship qualitative characterization ability， ability to add continuity and associated correlation structure rational quality. Through changing mathematics experiment behavior target， to cultivate students “key ability”， it contributes to the formation of students' all-round development and essential character..

Key words： mathematical experiment; key ability; teaching reform; lesson study

本文系江蘇省教育科学“十三五”规划2020年度重点课题“初中数学实验教学支持系统的构建研究”（B-a/2020/02/42）阶段性成果。

收稿日期：2020-03-24

作者简介：孙朝仁，苏州市教育科学研究院（江苏苏州，215004）科研员。