李传峰

[摘  要] 新一轮的课程改革以挖掘数学的文化价值为主旨，要求将数学文化渗透于高中数学教学的始终. 数学作为一种文化的传承，对学生进行数学的文化教育是素质教学的一个重要内涵. 文章从多个案例出发，在课堂激趣、质疑问难、探究延伸等方面透析数学文化与数学课堂的融合，呈现出教学中处处可以渗透数学文化的特征，以期为广大数学教师的教学提供指导，从而提高学生的整体文化素养.

[关键词] 立体几何;理性精神;教学难点

高中教材中立体几何的主要内容源自古希腊的欧氏几何，对欧氏几何的存废，当前数学教育界一直有争议，有人认为欧氏几何作为“死掉的数学”，以美国为首的西方中学数学教材已经基本删除，我们也没有必要再保留;也有专家认为，欧氏几何对培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力很有帮助，坚持在中学数学教材中保留有关内容.应当说，二期课改后教材中有关立体几何内容的编选现状基本体现了两种观点的妥协. 立体几何真的死掉了吗？为什么学生害怕学习立体几何？如何在立体几何教学中落实培养学生核心素养的要求？笔者试图从立体几何的学科本质出发，对立体几何教学内容的数学本质进行解析，探索教学难点的突破，探索在立体几何教学中落实核心素养的培养.

立体几何真的死掉了吗？

陈省身先生认为，数学分“好的数学”（指有意义，有创新）和“不好的数学”（指仅限于把他人工作推演一番）. 为了让学生学习“好的数学”，国内高中数学教材对立体几何内容进行了大刀阔斧的改革，删除了大量的命题及证明，引入空间向量和坐标法，这些改革与发展“好的数学”的思路相符合.

笔者以为，我国高中数学教材的内容编选，从一期课改到二期课改，逐渐改变了因为照搬外国教材和时代发展造成的“繁、难、偏、旧”问题. 总体上讲，内容编选越来越科学、越来越适应时代发展的需要和学生认知的特点.

随着数学和时代的发展，删掉教材中非核心的、过于技巧性的数学内容是应该的，但对核心的、思想性的数学内容应该保留，特别是完全删除某块数学内容，应当慎重.

欧氏几何自公元前出现到现在已经2000多年了，它的发展对整个人类数学的发展都具有非凡的作用和意义.

尽管教材中立体几何的许多文字表述和逻辑体系与《几何原本》相比，发生了很大变化，但它所代表的古希腊传承下来的理性精神和以演绎思维为基础的逻辑推理方法却散发着永恒的光辉. 因此，在中学教材中保留必要的欧几里得几何学的内容，既有传承理性文化的意义，也有传递数学演绎思维的作用.

第二次世界大战以前，微分几何不是核心数学，甚至被认为“它已经死了”，但20世纪下半叶以来，微分几何却成了主流，且由它发展起来的数学至21世纪依然是核心数学.

所以，“非核心数学”可以发展成“核心数学”，同样，“死掉的欧几里得”曾经催生了非欧几何的诞生和发展，谁又敢保证在未来某个时间它不会突然枯木逢春，重新焕发青春？

高中教材中立体几何的内容特点分析

1. 空间问题平面化

（1）作图上的空间问题平面化.欧氏几何要把空间图形在平面上（纸上）表达出来，这其实是一个不可能的事情，为了达到在平面上表达空间图形的效果，我们必须在画图和读图上做到“以假为真”“以真为假”.借用《红楼梦》里的一句话：“假作真时真亦假”.在纸上画出来的空间结构都是假的，但我们要想办法把它看成真的. 例如，我们说图1表示正方体，其实它是画在平面上的，这就是典型的以假为真;现实中的空间结构都是真的，但它在我们立体几何的概念中却是假的.例如，我们在立体几何中谈的正方体是对物理世界中正方体形状的空间结构（如粉笔盒）的抽象，不考虑它的质量、颜色、表面光滑与否等. 所以，立体几何里的正方体在现实中是不存在的，因而是假的.

（2）概念的刻画上的空间问题平面化.在学习立体几何以前，我们首先学习了平面几何（《几何原本》的前六章是平面几何，第七章到第九章是算术（数论），第十章是不可通约量的理论，第十一章到第十三章才是立体几何内容，空间结构的有关概念是用平面上的有關概念来刻画的，这有利于问题的定量解决. 掌握了这个线索，有助于我们从整体上理解立体几何知识脉络和思想体系. 例如，有关角的概念，不管是异面直线所成的角，还是直线与平面所成的角，或者是二面角，均用平面上的角来刻画.

2. 无限问题有限化

（1）内涵上的无限个转化成判定上的有限个. 例如，若平面α外的直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的无数条直线平行，但只需证明直线l与平面α内一条直线平行，就可以判定直线l与平面α平行.

同样道理的还有：线面垂直判定转化成“一条直线垂直于两条相交直线”;面面平行判定转化成“两条相交直线与平面平行”，等等.

（2）外延上的无限个转化成内涵上的有限个. 例如，从外延上，有无数条直线与平面所成角为60°，通过直线与平面所成角的定义，所有这些60°的线面角被概括抽象为一个内涵类型.这种通过概括抽象内涵来定义概念成为现在给概念下定义的一个非常重要的方式.

立体几何学习的难点分析

1. 空间结构及其关系的图形表述具有高度抽象性

由于利用平面表达空间造成立体几何图像高度抽象. 其突破的秘诀是：重视作图规则，增强心理暗示.

立体几何首先有一系列作图的规则：正等侧画法、斜二侧画法、三视图画法等. 他们其实就是我们作图、读图的“标准语言”，通过语言的统一，扫清了表达和阅读的障碍. 所以，作图时要严格按照作图规则，不能认为立体几何图像是“以假为真”就可以随意乱画. 例如，直线与平面的交点不能画在表示平面的平行四边形的边上;两平面的交线要与表示平面的平行四边形的边平行，等等. 另外，在读图时心理暗示非常重要，为什么我们认为图1是正方体，除了作图的规范性以外，更重要的是我们暗示自己它是正方体.

2. 空间结构及其关系定性研究具有严密逻辑性

立体几何的概念体系内容多且推理严谨，如何掌握这些概念及其推理？首先，教材（绝大多数国内教材）均在章节内容后面总结了该章的知识结构，研读章节知识结构有利于我们理解知识之间的逻辑关系;其次，我们还可以根据欧氏几何的演绎思维特点，自己寻找知识之间的逻辑线索，也能够帮助我们理解和掌握知识结构;最后，通过向量，在几何逻辑证明的基础上结合代数运算证明也可以降低证明的难度.

3. 空间结构及其关系定量研究具有超强技巧性

立体几何学习的第三个难点是其定量研究（即通过构造法求角和距离等）的强技巧性. 这个难点的形成也是因为在欧几里得时代数学发展的滞后造成的. 如今，通过引入代数运算，特别是向量运算，不仅可以降低立体几何定量研究的构造难度，还可以降低定性研究中证明的难度，需要说明的是，向量法不仅是向量坐标法，还包括向量的几何运算.

结论

传统的欧氏立体几何体系太难且有缺陷，改革是必需的，引入向量（向量几何）是一个不错的方向. 立体几何虽难学但有其价值，高中数学教材中应该给立体几何留下一席之地，欧氏几何的精髓是其理性精神和演绎思维的思想，其理性精神和演绎思维的思想通过其严谨的概念体系和研究方法体现，只有从数学本质的角度认真研究欧氏几何的概念及其关系才能够把握欧氏几何的实质，才能够在教学中实现培养学生核心素养的课程目标.