朱秋冬

摘  要：“理解”不仅仅是简单地“识记”，而是对知识的本质之理、方法之理、规律之理的认知、应用。在数学教学中，教师要调适自我的认知，转变自我的思维，变换自我的想象。通过对迷思概念与科学概念的转码、对稚化思维与智化思维的切换、对具象数学与抽象数学的调频来促进、深化学生对数学知识的理解。数学理解能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

关键词：小学数学;核心素养;数学理解

建构主义认为，学生在学习中不是被动地接受知识，而是运用结构性知识、非结构性经验背景等主动地建构、创造知识。作为教师，应当运用相关的学习材料，引导学生通过观察、操作等活动进行数学思考与探究。通过教师的引导，促进学生对数学知识的理解。“理解”不仅仅是简单地“识记”，更不是“照本解释”，而是对知识的本质之理、方法之理、规律之理的认知、应用。通过数学理解，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、调适认知：在“迷思概念”与“科学概念”之间转码

学生数学学习包含着诸多的“前理解”，这些“前理解”有些能促进学生的数学学习，有些却阻碍着学生的数学学习。一般说来，学生数学的“前理解”往往是学生的已知和未知的联结点，具有生长的潜力。“前理解”往往是感性的、粗糙的、内隐的，因而往往会夹杂着错误。作为教师，要努力调适自己的认知，促进学生在“迷思概念”与“数学概念”之间转码，努力让“前理解”成为学生数学学习的生长点。

比如教学《认识负数》（苏教版五年级上册），一般教师就是按照教材的逻辑，出示三亚（20℃）、南京（0℃）、哈尔滨（-20℃）三个不同地方的温度，引导学生比较温度有什么不同，进而引出“负数”的概念。这样的教学是一种“灌输式”“告诉式”的教学，学生的认知在这样的教学中“被动地生长”。笔者在教学中从学生数学学习的“前理解”出发，引导学生畅谈生活中的负数。“你在哪里见过负数？”学生举出了生活中的负数的例子，比如电梯中的“-1层”、温度计中的“-10℃”、“海拔-2000米”等。接着，笔者顺应学生的“前理解”，引导学生“画负数”。这个过程便暴露出学生的迷思概念，即“画负数”时，不标注0刻度，其潜意识就是认为“0表示没有”。因此在教学中，笔者针对学生的例子，反复地引导、反复地追问。如在交流“-1层”时，学生认为“-1层”就是“地下一层”，为此笔者追问“地在哪里”;在交流“-10℃”时，笔者反复追问“0℃在哪里”“为什么要画0℃”;在交流“海拔-2000米”时，笔者反复追问“海平面在哪里”……通过不断地追问，深究学生的迷思，让学生的“迷思概念”转码，形成科学的“数学概念”。这样的教学，有助于学生抽象出“负数”的数学本质，有助于学生深度理解在正负数中“0”的特殊意义和价值，从而促进学生的认知转型、思维转型。这样的教学，让学生的数学学习充满着主动的生长性。

学生数学的“前理解”包含着“迷思概念”“相异构想”。尽管它们有可能阻碍学生的认知，甚至成为一种干扰，但只要教师在教学中洞察学生的认知，积极调适学生的认知，使之转型、转轨，就能让学生的数学前理解成为学生数学学习原生思维的诞生源，成为学生数学新知的生长源。这些原生思维、数学直觉往往就能成为学生数学学习新知的雏形。

二、转变思维：在“稚化思维”与“智化思维”之间切换

著名教育心理学家奥苏泊尔深刻地指出：“影响学生学习的唯一重要的因素就是学生已知什么，并据此展开数学教学。”把握学生数学理解的脉搏，需要教师在了解学生具体学情的基础上，将自己的“智化思维”稚化。研究表明，教师之所以不能认识学生，不能理解学生，是因为教师的教学“程式思维”与学生的“稚化思维”之间产生冲突，教师的“高阶思维”与学生的“童化思维”之间产生冲突，教师的“结论思维”与学生的“过程思维”之间产生冲突。因此，转变思维，在学生的“稚化思维”与教师的“智化思维”间切换，是促进教师理解学生、学生理解知识的必由之径。

比如教学《方程的认识》（苏教版五年级下册），笔者从学生的已有认知经验出发，对同一情境中的教师、学生年龄问题进行探讨。“老师的年龄减去20岁比你大，你知道老师的年龄吗？”“老师的年龄减去30岁比你小，你知道老师的年龄吗？”“老师的年龄减去26岁就和你相等，你知道老师的年龄吗？”在这样的谈话中，引导学生列出不等式、等式，建立“已知量”“未知量”等概念，从而让学生切入方程概念的本质，即“在已知量和未知量之间建立一种相等关系”。在此基础上，教师将自己的思维“稚化”，借助学生生活世界中的方程原型，深化学生对方程的思考、探究。天平左边有一些质量的物体，怎样在天平右边放上砝码，使天平平衡？学生操作回答并用相等的数量关系式来表示。天平原来是平衡的，将天平左边的砝码拿走一只，会出现怎样的情况？怎样用数量关系式表示？天平左边放上任意一个物体，会出现怎样的情况？怎样用数量关系式来表示？通过引导学生观察、比较、分类、概括，逐步引导学生从“不含未知数的不等式”“不含未知数的等式”“含有未知数的不等式”“含有未知数的等式”中分化出方程概念。这个过程，是教师稚化思维后引导学生思维的外化，因而也是教师智化思维的表现。

转变思维，要求教师要站到学生的立场上去，力图用学生的眼光观照、用学生的大脑思考。作为教师，要倾听学生的心声。转变思维，也就是要求教师要能在关照学生的“稚化思维”与关照数学知识本质的“智化思维”之间迅速切换。只有这样，才能更好地促进学生对数学知识形成深度理解。正如美国数学家波利亚指出的：“教师应当把自己放在学生的位置上，应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或者一个步骤，重要的是这些都是儿童自己想到的。”

三、变化想象：在“具象数学”与“抽象数学”之间调频

学生对数学知识的理解不仅仅包括直观的感知，也包括抽象的思维、丰富的想象。面对抽象的数学知识，只有引导学生从不同的视角观照、想象，引导学生在“具象数学”与“抽象数学”之间进行调频，才能促进学生对数学知识的理解。著名数学家克莱因说，“直觉不仅仅包括一个人对数学看到了什么，更重要的是他在思考着什么、想象着什么”。在数学教学中，教师要引导学生形成“陌生化的洞察力”“视角转换的想象力”。只有这样，学生对数学知识的理解才能从片面走向全面、从单一走向多维。

比如在教学《平行四边形的面积》（苏教版五年级上册）后，学生已经通过对“平行四边形面积”的推导认识了“平行四边形面积的来源”，笔者便重点引導学生认识长方形面积、正方形面积和平行四边形面积之间的关系。通过对平行四边形框架的推拉，学生展开丰富的想象。有学生认为，当平行四边形的高变成斜边，也就是当平行四边形的斜边垂直于底时，平行四边形的面积就是长方形的面积;有学生认为，长方形、正方形和平行四边形的面积公式其实是一致的，就是要相乘的两条边互相垂直;有学生认为，正方形的面积可以归结为长方形的面积，长方形的面积可以归结为平行四边形的面积等。通过变换想象，学生对平面图形的面积有了深度的理解。平面图形的面积并不是一个个的“孤岛”，而是相互联系、相互统一的“统一体”。学生对看似相互分离的图形面积公式建立了有意义的、非人为的本质联系，从而完善了自身的认知结构，加深了对图形面积公式的认知。

哲学家黑格尔说，“哲学就是发现同中之异与异中之同”。变式想象立足于哲学的“变易思想”，通过从数学知识的不同层面、不同视角、不同方面等来揭示数学知识的本质，考量数学知识之间的关系。变化想象，能催生学生的深度学习，让学生克服数学理解的僵化、惰性，形成融会贯通、举一反三的能力。

美国哈佛大学威金斯教授等人认为，真正的理解不是单方面的成就，而是多方面、多类型、多证据的表现。有专家深刻地指出，理解有六个维度，那就是学生对一个数学知识点能解释、能阐明、能应用、能洞察、能神入、能自知。学生的数学理解是一个过程，为理解而教，应当成为数学教学的至真追求。