摘要：由一道利用定积分的几何意义进行求解的定积分题的解法引起的困惑——是不是所有的定积分都能用此方法？知道其几何意义却没公式继续求解怎么办？由此进行解法探究。

关键词：定积分;牛顿-莱布尼茨公式;变量替换法

中图分类号：G4  文献标识码：A  文章编号：（2020）-31-289

1 问题的提出与解答

我们知道，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且存在原函数F（x），即F/（x）=f（x） ，则f（x）在

[a，b]上可积，且∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛顿一菜布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），它也常写成∫baf（x）dx = F（x）ba♂。

人民教育出版社（A）版出版的普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2的P60习题1.7B组第1题：由定积分的性质和几何意义，说明∫a-aa2-x2dx的值

正如数学家柏拉图所说：“不懂几何者免进。”大部分教师拿到题目后，都会直截了当地告诉学生利用定积分的性质和几何意义，说明定积分∫a-aa2-x2dx的几何意义是表示以原点为圆心，以a为半径，在x轴上方的半圆的面积，因此定积分∫a-aa2-x2dx的值为12πa2。这样完满解答了这道题，学生也容易接受。

2 解答带来的困惑与探索

我们知道，利用牛顿一菜布尼茨公式的关键是要找到被积函数f（x）=a2-x2的原函数F（x），经

过大量的运算和思索，我们利用现有的知识水平是找不出f（x）=a2-x2的原函数，上面是利用定积分的几何意义来解答的，教师用书也是这样讲的，这是无可厚非的，这似乎成了“自古华山一条道”的绝法。

李秉彝先生2008年发表在新加坡Association of Mathematics Educators（AME）主办的刊物Maths

Buzz 10（2） 的文章 Why do we teach what we teach in schools？（即为什么在学校我们要教这样的数学）中说：新加坡的数学教学大纲，告诉我们在学校里应该教哪些数学。接着，教育学院就培训我们应当怎样教这些数学。我们通常不会问这样的问题：“为什么我们要教这样的数学？”也就是说，我们常常问“教什么”、“怎么教”，但是从来不问“为什么”。

难道上面的题目只能利用定积分的几何意义来解答吗？不能用牛顿一菜布尼茨公式了吗？难道牛顿一菜布尼公式真的失灵了。这的确没有让我墨守成规，反而激起了我无限的探索欲。我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。”

利用定积分的几何意义固然很好，正如西尔维斯特（James Joseph Sylvester ）说：“几何看来有时候要领先於分析，但事实上，几何的先行於分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的。”让我们成为真正的主人吧！达朗贝尔说：“前进吧， 前进将使你产生信念。”让我们的信念进行到底！

我们知道利用定积分的几何意义求得∫a-aa2-x2dx 的值为12πa2，通过对答案12πa2的剖析，其中的π与角度θ有关，这就启发我们联想到圆的参数方程x=a·cosθy=a·sinθ （θ为参数），能否把参数x、y转化为θ呢？如果如果这一设想成功的话，那么问题就能转化用牛顿一菜布尼公式来解答了。

例1：计算定积分∫a-aa2-x2dx的值

分析：设x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵当x=-a时θ=π;当x=a时θ=0。

∴a2-x2=a·sinθ=a·sinθ。

∴∫a-aa2-x2dx=∫0πa·sinθ·（-a·sinθ·dθ）=-a2∫0π·sin2θ·dθ

=-a2∫0π1-cos2θ2·dθ = -a2·（12θ-14sin2θ）0π♂

=-a2·（0-12π）=12πa2

这样，我们撇弃定积分的几何意义，用牛顿一菜布尼公式也能解答这个问题了。这种方法我们称之为“变量替换法”。正如数学家笛卡儿说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。”这就是我研究问题的真正目的。

3 问题的引申

例2：计算定积分∫a0b2-b2a2x2dx的值

分析：∵y=b2-b2a2x2  ∴y2=b2-b2a2x2  ∴x2a2+y2b2=1

∴定积分∫a0b2-b2a2x2dx表示椭圆x2a2+y2b2=1在第一限象與两坐标轴所围成的图形的面积，那么椭圆x2a2+y2b2=1的面积为多少呢？目前，教科书没有椭圆的面积公式，如果利用定积分的几何意义来求，上面问题无法解决。能否用变量替换法的方法来求？拉普拉斯（Pierre Simon Laplace ）说：“在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比。”如果能够求出来的话，那么椭圆x2a2+y2b2=1就有象圆一样有面积公式了。我们来继续探索吧。

∵由椭圆的参数方程x=a·cosθy=b·sinθ （θ为参数），

∴设x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵当x=0时θ=π2;当x=a时θ=0。

∴b2-b2a2x2=b2-b2a2？a2cos2θ=b2-b2cos2θ=b2sin2θ=bsinθ

∴∫a0b2-b2a2x2dx=∫0π2bsinθ？（-asinθ？dθ）=∫0π2-absin2θ？dθ

=-ab？∫0π21-cos2θ2？dθ=-ab？∫0π2（12-cos2θ2）dθ = -ab · （12θ-sin2θ4）0π2

=-ab？[（0-0）-（π4-0）]=π4ab

因此，椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πab

例3：计算定积分∫10x21-x2dx的值

分析：我们知道定积分∫10x21-x2dx表示曲线y=x21-x2在第一限象与两坐标轴所围成的图形的面积，如下图所示，如果利用定积分的几何意义来求，上面问题无法解决。能否用变量替换法求解呢？

设x=cosθ，∴dx=-sinθ·dθ

∵当x=0时θ=π2;当x=1时θ=0。

∴∫10x21-x2dx=∫0π2cos2θ？sinθ？（-sinθ？dθ）

=-14∫0π2sin22θ·dθ=-18∫0π2（1-cos4θ）·dθ=18∫π20（1-cos4θ）·dθ = 18（θ-sin4θ4）π20=π16

4 结束语

从一个问题出发，了解其产生的背景，展望其未来的发展，过程是艰辛但痛快的，总吸引着我们钻进去，收获是畅快且丰富的，总让人想继续追寻。反观探索历程，顿悟定积分的博大精深。作为一名教育工作者，在教学中不应该拘泥于固有的教学方法，应该要敢于创新。著名数学家华罗庚说：“研究科学最宝贵的精神之一，是创造的精神，是独立开辟荒原的精神，科学之所以得有今日，多半是得利于这样的精神，在‘山穷水尽疑无路’的时候，卓越的科学家往往是另辟蹊境，创造出‘柳暗花明又一村’的境界。”这就是数学的力量，也许听起来奇怪，数学的力量在于它规避了一切不必要的思考和它惊人地节省了脑力劳动。笔者认为，教育工作者在教学的过程中，应该教会学生在开辟蹊境的同时，又能节省了脑力劳动。让学生在学习中学得轻松又轻松的学。

参考文献

[1]黄兴丰. 为什么在学校我们要教这样的数学[J].数学教学. 2011（7）：封二.

[2]林建筑. 探究等差乘等比型数列前n项和的心路歷程[J]. 中学数学教学参考. 2012（8）：36-38 .

[3]刘玉琏 傅沛仁. 数学分析讲义（上册）[M]. 上海.高等教育出版社，1989.

作者单位：福建省安溪沼涛中学