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精彩的代换 别样的方程

2020-09-10于华虎

初中生学习指导·中考版 2020年9期
关键词:解方程代数式实数

于华虎

一元二次方程是初中数学的一个重要内容,与它有关的题型形式多样、变幻莫测. 其中有一种题是已知方程,求含有这个方程的根的代数式的值,这类题要求同学们必须能熟练转换一元二次方程的形式,运用整体代换的方法解决问题. 下面通过中考中的五个典型例题进行讲解,希望对同学们有所帮助.

一、将方程变换成一种形式代入

例1 已知方程[x2+x-5=0],不解方程求[x3-6x+4]的值.

解析:因为[x2+x-5=0],所以[x2+x=5],

故[x3-6x+4]=[x3+x2-x2-x-5x+4]=x(x2 + x) - (x2 + x)-[5x+4]=[x·5-5-5x+4]=-1.

例2 若[n]是关于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一个根([n≠0]),求[m+n]的值.

解析:因为[n]是关于[x]的一元二次方程[x2+mx+n=0]的一个根,

所以有[n2+mn+n=0],提公因式得[n(n+m+1)=0],

∵[n≠0],故[m+n+1=0],

于是[m+n=-1].

点评:上面两题如果按照惯性思维,先求方程的根再代入求值,其复杂程度可想而知,而采用将方程变形再整体代入的方法使问题得以巧妙解决!

二、将方程变换成两种以上的形式代入

例3 若[a]是一元二次方程[x2-x-1=0]的一个根,求代数式[a4+2a+1a52020]的值.

解析:因为[a]是一元二次方程的一个根,所以有[a2-a-1=0],

将其变形可得①[a+1=a2],②[2a+1=a2+a],

于是[a4+2a+1a52020=a4+a2+aa52020=a3+a+1a42020=a3+a2a42020=]  [a+1a22020]= [a2a22020]= 1.

例4 设[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一个实数根,求代数式[a2-2019a+2020a2+1]的值.

解析:由于[a]是一元二次方程[x2-2020x+1=0]的一个实数根,

则[a2-2020a+1=0],

将其变形为①[a2+1=2020a],②[a2-2020a=-1],

则[a2-2019a+2020a2+1=a2-2020a+a+2020a2+1=] [-1+a+] [20202020a] [=-1+a+1a] [=a2+1-aa][ =2020a-aa] [=2019].

例5 已知方程[x2+3x+1=0],不解方程,求[x3+3x2+3x2+1]的值.

解析:将[x2+3x+1=0]变形,得到如下三种情形:

①[x2+3x=-1];②[x2+1=-3x];③[x+1x]=-3,

故[x3+3x2+3x2+1]=[xx2+3x+3x2+1=x·-1+3-3x]=[-x-1x]=[-x+1x]=-(- 3)=3.

点评:将方程变换成两种以上的不同形式,通过多次整体代入,使烦琐的问题变得简单.

1. 已知[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一个根,且[a≠b],求[a2-b22a-2b]的值.

提示:由[x=1]是一元二次方程[ax2+bx-40=0]的一个根可得[a+b-40=0],则有[a+b=40],可得答案为[20].

2. 已知[x]是一元二次方程x2 +3x -1 = 0的實数根,求代数式[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1] ÷ [x]的值.

提示:将一元二次方程变形为两种形式:①[x2-1=-3x],②[x2+3x=1],则有

[x-33x2-6x÷x+2-5x-2×3x2-1÷x=x-33x(x-2)×x-2x2-9×3x2-1÷x] = [13(x2+3x)×3x2-1÷x] [=13×3x2-1÷x=x2-1÷x=-3x÷x=-3].

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