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数学

2020-09-03 02:22:25 知识就是力量 2020年9期

数学思维艺术的启蒙

数字和数学最初的概念来自于现实世界,来自于人和动物、石头、土地——古埃及壁画中就描绘了记录官丈量麦田的场景。对古人而言,数字是实在的,数学也是实用的。计数应该说是最早的数学思维,那么计数到底指的是什么呢?其实,早期计数的概念可能只涉及“质”而不涉及“量”,也就是说,它一定会涉及具体形象的实物,而不像现代数学那样抽象。

古 埃及壁画中记录官员丈量麦田的图景

人类本质能力的高峰(漫画)

史前时代与最初的文明孕育出了数学的概念,并被人们运用在实际生活中(如玛雅人的“结绳记事”等),因此在人类历史上,古典时代之前的数学主要着眼于数牲口、丈量土地、粮食称重以及房屋建筑等。而古代希腊、埃及、巴比伦、中国和印度等文明也共同为算术、几何学、代数学和数论的形成打下了基础。左边这幅漫画表明,在生物界,也只有进化到一定阶段的人类,才有可能开始用数学表达对世界的抽象认识。

描绘拓扑学开端的画作——《柯尼斯堡7桥问题》

而右页左下角这幅中世纪的版画,则验证了毕达哥拉斯学派的理论——“比例”在数学与音乐中应该是一种共用的形式。作为享誉世界的古希腊数学家、音乐家,毕达哥拉斯应该算作是人类历史有记载以来的第一位纯粹的数学家,他 第一个运用演绎的数学方法证明了千古流芳的数学定理:a2+b2=c2(“毕达哥拉斯定理”又称“勾股定理”);同时他也是第一个证明数字比例既可用来计算又可进行音乐创作的人。他在试验中发现,当弦的长度之比为整数,拨动琴弦时会产生和谐的音调,似乎是一条普适的规律。他开始意识到拨动不同长度的琴弦时会产生不同的乐感。如果说数学中存在美感,那么,将数学法则应用于音乐,则应该会有悦耳之声响起。一些见解独到的研究者认为,数学是赋予不同事物相同名称的艺术——它在其中展现了不同于其他科学的、创造性的自由。数学家的唯美理想甚至蕴含着一种连十二音音乐亦不能与之媲美的特殊严谨性。

毕达哥拉斯的通用数字比例

数学不仅促成了创新,更造就了创新思想所需的自由。《柯尼斯堡7桥问题》是一幅描绘瑞士柯尼斯堡含有7桥的画作,画中显示出了7桥中的6座,但画中右下角的女士遮挡住了第7座桥——在这座城中,7座桥连通大陆和两个岛屿。这幅画作的出现,给18世纪带来了一个最著名的数学问题:如何走过所有7座桥并回到原点,却不重复通过某一座桥?瑞士数学家欧拉将这个问题巧妙地简化成了一张图(和现代坐标系图不同,他的图含有被称为节点的点和被称为边的直线),并证明这个问题无解,因为此问题含有4个节点和奇数个连接。他的证明开创了一门新的数学学科:拓扑学。作为几何学的分支,拓扑学主要是研究几何图形如何在连续弹性可变化情况下保持性质不变的数学学科。

数学艺术的表达者

法国数学家笛卡儿,因将几何坐标体系公式化而被公认为解析几何之父,他的思想理性但行为艺术——这正是一位大数学家所应具备的特质。传统解析几何对于运动的物体无能为力,而在与变量有关的广阔天地里,解析几何却大有用武之地。现代许多高新技术产品的设计造型都离不开数学中曲线方程的应用,如飞机、船舶、航天器等。人们有时都不知道其中优美曲线的产生是遵循谁发明的方程形式去进行的。

邮票画上的两位享誉世界的中国古今数学家——祖冲之和华罗庚

在右图中,笛卡儿让人们知道了他及其所创立的解析几何之众多曲线;而另一幅画描绘的是一位艺术家笔下的数学,“‘鸡算”等式,计算结果竟然得到一个“零‘蛋”,这真是一个绝妙的开方等式,也说明了数学家与艺术家的一体两面性。

以“华氏定理”“华氏不等式”等享誉国际数学界的中国现代著名数学家华罗庚在《从祖冲之的圆周率谈起》中说道:“祖冲之不仅是一位数学家,同时还通晓天文历法、机械制造、音乐,并且还是一位文学家。祖冲之制定的《大明历》,改革了历法,他将圆周率算到了小数点后7位,是当时世界上最精确的圆周率数值,而他创造的‘密率闻名于世。”

笛卡兒几何下的诸多美妙曲线(绘图/ 刘夕庆)

艺术家笔下的“鸡”算等式

计算圆周率是一件需要智慧的事,同时也需要技艺,我们知道,在一个圆里画内接正多边形,计算这个正多边形的总边长,就可以得到圆周长的近似值——这种方法称为“割圆术”。才艺双全的祖冲之当时因将这种计算演绎到了极致,因此创造了密率。而只有博学多才,才能让身为文学家、音乐家的祖冲之取得如此伟大的成就。

题图为数学家、物理学家约翰·冯·诺伊曼科学肖像。他曾于1947年发表过著述,将理论物理和数学加以比较。据他称,这两门学科都研究所谓的客观问题,但“即便在这种情况下,数学家在总体上有着改变研究对象的自由,而在理论物理中,重要的问题通常是必须解决的冲突和矛盾。数学家有许多领域可以研究,他们几乎可以完全自由地决定在研究中做些什么”。也就是说,数学家就像从事绘画、作曲的艺术家们一样自由,可以随时由他们的直觉自行地决定创新主题——例如,中世纪印度数学家婆罗摩笈多所研究的成果,后来竟然揭示了天文学中的一些数学奥秘。

數学应用的艺术

应用数学是利用数学方法解决实际问题的一门学科,在经济金融、工程科技等领域都有广泛运用。它的诞生实际上是一种所谓纯粹数学思维被巧妙实际运用的艺术。很多时候,自由的艺术开始创新了数学,而数学应用依然得靠这种“艺术形式”获得它应有的内在价值。

现代学者普遍认为,数学中一些最重要的创新可以被形容为对既有范式的突破。人们突然意识到,可以用另一种眼光看待已知事物而产生的数学进步,比如把变量引入计算就是一种创新。这种自由大胆的思维转变正是数学所倡导的,也是应用数学呈现给工程师、物理学家或其他使用者的东西。所以,数学的自由创新与实际运用都是艺术与科学联手的结果。

“会计之父”帕乔利(左)教导学生运用数学解决实际问题的画作

意大利人帕乔利凭借经典数学应用之作《计算与写作》,被尊称为“会计之父”。他在这本著作中描述了许多沿用至今的会计学要点,比如试算平衡表。在这种方法中,前一年分类账中借方的金额被记录在平衡表的左边,而贷方金额则记录在右边。如果总数能够平衡,那么这本账就被认为是平衡的,否则就是不平衡的。

印度的婆罗摩笈多在自由地进行数学研究

南丁格尔利用玫瑰图更加直观地统计不同类别伤员数

长得像饼图又不是饼图,长得像堆积簇状图又非簇状图,这种有着极坐标的怪异统计图,有着一个美丽的名字——南丁格尔玫瑰图。它的发明者是护士行业的创始人兼统计学家南丁格尔。在南丁格尔护士生涯中,为了让数据能够更加形象生动,令人印象深刻,她创造了一种色彩缤纷的图表形式。图表的展现形式,存在一个圆心,以扇区来展示数据的大小或比重。其与传统饼图的区别在于,南丁格尔玫瑰图既可以使用扇区的面积来区分数据的大小,也可以使用不同扇区半径的长短来区分数据的大小,因而比普通饼图更直观易读。

德国数学家,集合论的创始人康托尔曾经对自己的研究颇有感触,他认为“数学的本质在于自由”。自由为思维创造了起步条件,另一方面,自由反过来又让数学成为了一种创新的艺术,而艺术则又显现出了临界性,这种可预测和不可预测的结合让我们笃信了著名华裔数学家陈省身为青少年的题词:“数学好玩”。