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π的故事

2020-09-03 02:22:25 知识就是力量 2020年9期

徐丁点

π可以这样来计算

在探索π的道路上,不同国家的数学家们采取了不同的方法。中国人对π值的计算当属刘徽和祖冲之两位数学家,他们用割圆术的方法计算出了π值;国外的一些数学家则利用一些数学公式计算出了π值,这些美妙的公式让众多数学爱好者趋之若鹜。就连当代的数论大师阿特勒·塞尔伯格都表示之所以喜欢数学,是因为德国的莱布尼茨给出的公式深深地打动了他,奇数1、3、5、7……以如此简洁的形式组合在一起竟可算出神秘的π,这就宛如一幅优美的画卷或是一首动听的歌曲,激起了人们对数学研究的热情。

如果说π的精确公式让人感受到数学的简洁和精妙,那么法国科学家蒲丰的投针实验则开启了用统计思维观察和分析世界的大门。这个实验操作很简单:找一根粗细均匀、长度为d的细针,并在一张白纸上画一组间距为l的平行线,然后反复将针任意投掷在白纸上,记录下针与任意平行线相交的次数,通过分析可以得到针与任意平行线相交的概率为 ,将此公式变形可得到圆周率的估计公式 。如果n次中有k次与平行线相交,概率p就可以用近似,当投掷的次数越多,近似程度就越高。

韦达(16 世纪) 法国利用倍角公式和数列极限给出根式形式公式

莱布尼兹(17 世纪) 德国从一个简单的反三角函数恒等式出发,借助求导、级数展开和定积分等工具得出

蒲丰实验是人类首次使用随机方法处理确定性问题,开辟了π值估计的一条全新的道路。在此基础上,人类依托计算机技术的进步,孕育出一种全新的数学方法——随机模拟法(又称蒙特卡洛法),这种方法已成为现代社会解决复杂实际问题的一种强大工具之一。

π的妙用

人们对π的小数位数字追求的动力,一方面来自于破记录的好胜心,另一方面也源于现实生活的实际需要。在计算机技术高度发达的今天,如何检测一台计算机的性能以及比较两台计算机的性能差异是很现实的问题。而π作为一个无限不循环小数,又拥有众多的计算方法,自然适合于计算机进行运算并作为检测指标。

利用对π位数的计算已经成为工程师检验计算机可靠性、精确性、运算速度以及容量的有力手段。让检验过的π值计算程序在待测机上运行,看是否能够多次准确无误地计算到预估的精度,从中发现计算机硬件或软件中存在的故障,这对于投入使用之前的新机测试具有重要意义。例如1986年,一个π的计算程序成功检验出一批“克雷-2(CRAR-2)”型电子计算机中的一台有某些模糊的硬件问题;又例如当英特尔公司推出奔腾CPU时,就通过对π的计算找到程序设计上的一个小问题。到了1995年,日本东京大学计算机专家更是制作出世界上第一个计算π的软件——Super π,可用于测试计算机CPU的稳定性和运算速度。

中国人用割圆术计算π 值

高效地算出更多位数的π值,推动着计算机技术和制造业不断向前发展。正如屡次創造计算π值记录的日本计算机专家金田康正所说:“挑战圆周率的计算记录对于计算机的性能和改进是非常有益的。”与此同时,计算机也能帮助检验π值计算公式的优劣。用一台计算机在相同条件下采用不同公式计算π到相同位数,哪一个公式所需时间少,则哪一个公式就更优越。1991年,两位中国工程师李文军和梁建平在同一台计算机上,分别用高斯的公式  和李文军的公式  进行前20位π值计算,发现后者所用时间更短,所以更优越。

沃利斯(17 世纪) 英国将莱布尼兹的公式通过简单的代数转换,形成连分数形式

欧拉(18 世纪) 瑞士利用多项式理论给出无穷级数形式公式

在信息传播领域,为保证信息交换过程中的安全,就需要研制安全可靠的加密机制,密码学随之诞生和发展。由于π拥有无限数位,并且其数位数字的排列具有随机性和均匀分布的特点,所以能够提供安全而充足的加密编码,同时消除被统计分析方式破解的风险,因此常数π在密码学中也发挥着独特的作用。基于π的算法有很多种,例如有一种矩阵加密算法是从π的数位数字中提取加密矩阵元素,得到的矩阵没有任何规律性,加密后的密文也没有规律性。密文的解密只有选择相同的加密矩阵,算出逆矩阵,用逆矩阵左乘密文即可。对于不同保密等级的信息,可以通过设定加密矩阵的阶数来实现密码复杂度的变化。而π作为一个取之不尽的“码源”,保证了任意阶矩阵构造的可能。

圆周率π自从诞生之日起,便与人类一起同行。它所包含数字的无穷性和均匀分布性为其增添了神秘色彩,它的精确表达公式展现出清晰深刻的一面,它的广泛应用又拉近了与人们的距离。π就像一个精灵,自由地跳动在理想和现实两个世界中,你是否会爱上这个神奇的精灵呢?