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眼见不一定为实的彭罗斯阶梯

2020-09-03 02:22:25 知识就是力量 2020年9期

刘刚

初识彭罗斯阶梯

最早記载的彭罗斯阶梯是瑞典艺术家奥斯卡·路透·瓦德(Oscar Reutersv?rd)在1934年制作的雕塑。后来,英国数学家、物理学家罗杰·彭罗斯(Sir Roger Penrose)和他的父亲,精神病学家、遗传学家莱昂内尔·彭罗斯(Lionel Sharples Penrose)设计了多种“不可能存在”图形并进行了推广。1958年2月,他们把这个作品发表在《英国心理学杂志》上。自此,后续的学者将其命名为彭罗斯阶梯(Penrose Stairs)。据悉,彭罗斯阶梯的创作也受到了荷兰画家埃舍尔(Escher)的一些“不可能存在的画作”的启发。

彭罗斯三角形,一个小球沿着视角中的三角形移动最终可以回到原点

彭罗斯阶梯是著名的数学悖论之一,指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯,可以视为彭罗斯三角形的一个变体,在此阶梯上永远无法找到最高点或者最低点。彭罗斯阶梯违反了欧几里得几何学的基本规则,描绘了一个在三维世界(我们现在生活的世界)中不可能存在的物体,即:如果一段台阶都是连续上升(或者下降)的,那么整段台阶的高度就是大于零的,也就不可能回到原点。直觉和逻辑都告诉我们被骗了,但又是为什么呢?

彭罗斯阶梯的原理

在现实生活中,我们经常能看到一些平面上绘制的立体画。在特定的视角观察这些立体画,我们可以感受到一种三维错觉。比如下页这幅画,从我们眼睛的角度看上去好像是三维的,但其实这些画是在一个平面上制作出来的,只不过是在绘画的过程中,通过一些手法对细节进行了处理,从而让我们产生错觉,有了一种立体的感觉。

在地面上绘制的艺术作品

从正面视角看,地面上绘制的艺术品确实有很强的三维冲击感,但是当我们变换位置,这种三维的感觉就会消失。也就是说,在二维平面上设计的三维图片,在缺少第三维限制的情况下是可以轻易表现出高低不同的细节,从而以假乱真,让我们的眼睛产生错觉。而彭罗斯阶梯也是如此。

彭罗斯三角形在不同视角下的形状

前面我们已经说过,彭罗斯阶梯可以被视为彭罗斯三角形的一个变体,彭罗斯三角看起来像是一个物体,由三个截面为正方形的长方体所构成,三个长方体组合成为一个三角形,但两长方体之间的夹角似乎又是直角。上述性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现。尽管彭罗斯三角在三维中不可能存在,但如果从三维空间的特定角度去看,其看到的图案和彭罗斯三角相同。比如在澳大利亚的西部东珀斯,就有一座彭罗斯三角雕塑,这个效果其实是三维物体在特定角度的二维投影,但是人脑还在思考三维的模样,因此就出现了错觉。

尽管彭罗斯阶梯无法在生活中实现,但我们也可以模拟这种效果。找一段足够长的阶梯,然后每一层的阶梯要做得很宽,我们可以把这些阶梯做出一定的坡度,由于距离较远,那些小的坡度就很不容易被人察觉到。每隔一段距离就做一个明显的阶梯,再将这种阶梯做成蜿蜒曲折的样子,然后加上一定的障碍物,就可以在视觉上达到以假乱真的效果了。

常上荧屏的彭罗斯阶梯

在一些影视作品中,经常出现彭罗斯阶梯的影子,比如《鬼吹灯》里的“悬魂梯”和《盗梦空间》里那个永远走不完的楼梯。在这些情节中,关键人物走入了一圈又一圈的死循环,陷入了难以摆脱的困境。

《盗梦空间》中,埃姆斯(Eames)教筑梦师爱莲(Ariadne)利用彭罗斯阶梯设计高难度的梦境。埃姆斯和爱莲沿着彭罗斯阶梯一直上楼,每一圈都会经过那个整理文件的秘书。但是镜头一转,埃姆斯展示了转换视角后的彭罗斯阶梯:显然中间割裂开来了。

《盗梦空间》中的彭罗斯阶梯

原来,在梦境中加入彭罗斯阶梯,不同的时刻展示彭罗斯阶梯的不同视角,可以让主人公趋利避害。最终,筑梦师爱莲在第二层梦境中设计了彭罗斯楼梯:埃姆斯在梦境中被敌人追赶着下楼后,梦境中设计的视角开始变换,敌人站到割裂开来的楼梯旁边不知所措,然而埃姆斯却从敌人背后出现,将敌人制服并推下楼梯。

彭罗斯三角形、彭罗斯阶梯等图形又被称为不可能图形,即在现实世界中不可能存在,在平面设计中违背了透视原理。它们是利用人的 “视觉误差” 而形成的一种光学错觉,只存在于二维世界。这些图形看起来很 “理所应当”,但如果你用手指沿着这些图形上任意一面 “走”一遍,就能发现根本走不通。