函数图象在高中数学解题中的巧妙应用

2020-07-20山东邱桂艳

高中数理化 2020年6期

◇ 山东邱桂艳

函数图象在高中数学解题中有着十分广泛的应用.在高中数学中对函数图象有两方面的要求，一方面是能根据函数的图象知道函数的基本性质，另一方面是能应用函数图象来解决实际的数学问题.在高中数学解题中，应用函数图象可以简化数学题，将数量关系和图象巧妙结合，不仅能帮助学生快速高效地完成各种复杂的题型，也能更好地帮助学生们理顺各个条件之间的关系，提高做题效率.

1 应用于数学填空题和选择题

在数学题中，填空题和选择题是两种常见的题型，这类题已知条件较少，主要考查学生对某一个知识点的掌握情况，通过函数图象能帮助学生快速找到解题的关键.

例1现给出方程式sinx=sin2x，如果x 的定义域为（0，2π），则上述方程一共有（）个解.

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

解析

如果不利用函数图象进行解题，则解题步骤如下：sin2x=2sinxcosx=sinx，如果sinx=0，那么x=π.如果sinx≠0，则2cosx=1，即一共有3个解.这种解题思路不仅复杂，计算较多，而且在解题的过程中也很可能忽略了（0，2π）这一条件，从而导致结果错误.利用函数图象进行解题时，将sinx 和sin2x 的图象画出来，可以得出当x 在（0，2π）这一区间内，一共有三个解，这种解题方式不仅简单快速，其准确性也高.因此，在解这类题时，要尽量通过画函数图象的方式来简化题目，节省计算时间，提高做题准确率.

例2函数y=ax2+bx+c（a≠0），其图象见图1，那么在b2-4ac＞0，4a+b＞0，a-b+c＞0，a+b+c＞0这几个公式里面，正确的有个.

图1

解析

这一题也可以利用函数图象来进行解答.从函数图象中可以知道，抛物线和x 轴有两个交点，因此b2-4ac＞0.同时考虑抛物线的对称性质和其对称轴处于1和2之间，所以，将该不等式进行变换可以得到b＞-4a，所以4a+b＞0.若x=-1，则a-b+c＞0.若x=1，则a+b+c＜0.

2 应用于抽象数学问题的解决

除了在填空题和选择题中应用函数图象，在面对一些抽象的数学问题时也要全面分析，积极应用函数图象来解题.从整体来看，函数图象可以用来解决函数值域、近似值等问题.利用函数图象求解上述问题，可以将抽象的数学问题具体化，提高做题效率.

例3给出下列不等式：，求式中x 的取值范围.

解析

在针对题目中有绝对值的问题时，学生常常会出现因为忽略条件或者是计算错误造成最终答案错误的问题.如果在解决这类题的时候采用函数图象的方式，将可能出现的情况通过函数图象表现出来，能有效避免漏解、错解.在此题中，我们可以将题目中的不等式转换成＜0，令y=.当2x+3=0或者x-5=0时，即或者x=5.得出上述结果之后，可以将x 轴分成三个部分，在三个区间内画出三个一次函数图象，找到这些图象和x 轴的交点，便可以得出x 的取值范围.

例4求解不等式

解析

可以看出整个式子比较复杂，而且涉及x 的三次方的问题，如果直接求解不仅需要大量的时间，而且很难得出正确的答案.对此，可以应用函数图象解题，将上式进行变形，得到x3+5x，又因为所以不等式可以化为可以设函数为f（x）=x3+5x，函数为在定义域R 内的单调递增函数，不等式又可以化为f（x），所以原不等式就等价于，对上述不等式求解得-1＜x＜1或x＜-2.

例5求方程lgx=3-x 的近似解.

解析

将上述方程化为lgx-3+x=0，令函数f（x）=lgx-3+x，借助计算器计算得到f（2）≈-0.70，f（3）≈0.48，有f（2）f（3）＜0，所以方程在区间（2，3）只有1个解.接着用二分法计算，取（2，3）的中间值2.5，利用计算器计算得f（2.5）≈-0.10，然后再取（2.5，3）的中间值2.75，利用计算器进行计算得f（2.75）≈0.19，有f（2.5）f（2.75）＜0，所以可知x0∈（2.5，2.75），同理可以得到x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5625，2.625），因为2.625-2.5625=0.0625＜0.1，所以方程的近似解的取值为2.5625.