高媛

摘 要 函数极限是高等数学中的一个重要概念，也是研究微积分的一个重要工具。极限的思想和极限的方法贯穿整个高等数学学习的始终。函数极限是高等数学最最基础的知识，函数连续、微分、积分都是在函数极限的基础上，所以学好极限非常重要，文章由简到难依次介绍了几种常见的极限的解题方法，便于理解和求解极限问题。也为学好高等数学打下基础。

关键词 极限 直接代入 等价代换 两个重要极限

中图分类号：O174文献标识码：A

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数、微积分等概念都是在函数极限的基础上完成的。学好函数极限对学好高等数学至关重要。函数极限难点在于函数极限的算法，极限的算法多种多样，但是如果没有找对算法就会直接出错或越做越难，所以学会函数极限的算法非常重要。

下面我们从简单到难总结了一些求函数极限的方法：

1直接代入法

直接代入法顾名思义就是直接代入函数求极限。根据初等函数的连续性我们可以知道只要是初等函数就是连续的（我们常见的函数大部分都是初等函数）。所以一般情况下求极限的问题能直接代入的我们都是直接代入。例如：

，

直接代入法是函数求极限的最简单，最基础的方法。几乎所有的求函数的方法最后都需要用到直接代入法。掌握直接代入法能计算一些简单的函数求极限和高中教学中的极限问题。

2 “型”除以最高次项法

直接代入法是一种简单且容易掌握的方法，但是也会出现代入后不知道结果的，例如代入之后出现结果为，这时候我们没有办法做，现在我们把这种类型叫做“型”。

“型”一般是分式形式的，而且（或，），这个时候我们一般只需要分子分母同时除以分子和分母中最高次项就可以了。例如：

上述三个例子分别体现了“型”求函数极限中最高次项的三种情况：

（1）分子分母最高次项相同，函数极限为分子分母最高次项系数之比;

（2）分母的最高次项大，函数极限为0;

（3）分子的最高次项大，函数极限为。

综合来说“型”是需要除以最高次项来计算函数的极限，是函数极限中一种较为针对性的方法，针对（或，）的类型。

3 “型”能约分，先约分再代入

“型”即直接代入之后會发现分子和分母都为0，这个时候按照直接代入法就没有办法继续进行，所以我们要学习其他的求极限方法。首先我们可以先观察看看能不能约分，如果可以约分的话我们可以先约去零因式后再代入进行计算。例如

先约分再代入的方法是函数求极限中一种较为简单的方法，相对于直接代入稍难，需要学生有基础的因式分解能力，应用较为普遍。

4等价代换

我们知道“型”有的可以约分但是也有一些不能约分，这个时候我们需要用一些其他的方法，例如等价无穷小的代换。由等价的定义我们可以知道一些常见的等价：当时有

等价无穷小的代换即在函数极限的计算中可以用等价无穷小量来替换（注意只针对乘法除法可以用，加减运算不能用）。例如：

（这个是第一个重要极限），

等价无穷小的代换可以将较为复杂的极限问题转换为容易的函数极限问题，是求函数极限中的一个方便快捷的方法，但是它具有一定的局限性，必须是 “型”的，而且常见的等价无穷小要熟记。

本篇文章由简到难依次介绍了直接代入、“型”、“型”、等价代换、两个重要极限等求解极限的最基本方法，这些都是求极限最常见的方法，一般的极限问题都可以解决。但是我们知道求极限的方法多种多样，我们也可能会遇到千奇百怪的极限问题，所以仅仅这些还不够，其他复杂的方法大家可以自己查询。

参考文献

[1]杨伏香，高喜花.高等数学[M].郑州：黄河水利出版社，2013.

[2]李广全，林漪，胡桂容.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3]同济大学等.高等数学（上）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.