安徽省亳州市谯城区谯城中学 王广义

全等三角形的判断无外乎SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边+直角边）五种，针对不同的三角形，在证明时要能分析题干中所隐含的条件，学会构造三角形来完成证明。下面就构造三角形的几种方法作简要介绍。

一、截长补短

这是全等三角形证明中用于证明线段数量关系最为常用的方法。“截长”一般是过某一点作长边的垂线，另一种则是在长边上截取一条和某一短边相同的线段。而“补短”一般是通过延长短边或旋转而将两条短边合并，以便于证明。

例1：如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。求证：AC=AE+CD。

解析：AC是一条长线，而AE和CD是两条线段，由此可考虑利用“截长”的方法，先在AC上截取一段AF，使其和AE相等（如图2），那么，剩下的就要考虑如何证明CF=CD，即要证明△ODC≌△OFC。观察两个三角形只有一条公共边，即OC。如果能证明∠3= ∠4，∠7= ∠8，即可用ASA（角边角）证明，回归题干，根据AD平分∠ABC，即可得到∠1=∠2。而AE=AF，AO=AO，故而可证明△AEO≌△AFO，也就可得到∠5=∠6。由∠ABC=60°，可推导∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=180° -60° =120°。又因CE平分∠ACB，即可证明∠3= ∠4。 而∠5= ∠3+ ∠2= ∠BAC+ ∠BCA， 可 知∠5=60°。∠6=∠8=60°，∠7=180°-∠5-∠6=180°-60°-60°=60°，继而可得到∠7=∠8。由此即可完成证明。

无论是“截长”还是“补短”，在证明过程中都要学会观察图形，根据图形完成构造。同时，要充分利用好题干中的“已知”，构造三角形后，要从“未知”出发来思考通过“已知”条件可以得到什么，如何证明。

二、割补构造

“割补”其实就是根据图形，将“大”图形进行“割”，即利用平行线、角平分线或中位线等将“大”图“割”去一部分，寻找已知图形和构造图形之间的全等条件进行求证。

例2：如图3，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°。求证：AD=CD。

解析：观察图形发现，△ABD和△CBD是完全不可能全等的，且△CBD的面积明显比△ABD要大，而题干中给出BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°的条件，若能通过割补△CBD而构造一个和△ABD全等的三角形，问题即可得到解决。在BC上截取BE=BA，连接DE，得到图4。由∠1=∠2，AD=BE，BD=BD，即可证明△ABD≌△EBD，从而得知AD=ED，∠A= ∠3。题 干 中 给 出∠A+ ∠C=180 °， 可 得∠3+ ∠C=180 °。 而∠3+∠4=180°，等量代换即可得到∠C=∠4，可推导CD=DE，由此可论证AD=CD。

三、补全图形

根据题干观察图形，若图中图形出现“缺失”，可通过“补全”图形来构造两个全等的三角形进行证明。

例3： 如 图5， 在△ABC中，AC=BC， ∠C=90 °，BD为∠ABC的平分线。若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长。

解析：要求BE的长，而题干中只给出AD的长，两者之间没有关联性。观察图形，若延长AD、BC交于F，即可得到图6，若能证明△AFC≌△BEC，即可得到BE=AF，但需要考虑AD和DF之间是否存在数量关系，再观察图发现，若能证明ABD≌△FBD，即可得到FD=AD=a，即AF=2a。如此，再根据题干，先利用AAS 证明△AFC≌△BEC，推导出FD=AD=a，即AF=2a。同样，利用AAS证明ABD≌△FBD，即可求证。

在全等三角形的学习过程中，一定要掌握五大判定定理，要熟悉每一种定理的条件，结合图形思考已知条件是什么，还差什么条件，根据所差条件观察图形，完成构造。当然，构造三角形来完成证明的方法很多，最为关键的是，看到图形后，要结合题干进行分析。如两个图形之间已经有了两个条件（两条对应边已经相等），此时只需要找到另一个条件（两边的夹角），若图形中没有这一交角，则可进行构造。在数学教学中，应多引导学生展开针对性练习，熟悉不同类型图形的构造方法，这样才能让学生快速求证。