【摘要】针对传统复调音乐作品，在分析过程中需要通过人工逐音逐句地核对，难度较大，专业性强，不同的分析者对同一首作品可能会有不同的理解，从分析方法来说具有一定的局限性。本文将原属于复杂系统设计与优化研究领域的构形理论与作曲及作曲技术理论相结合，研究提出了基于构形理论的多声部音乐作品数字化和空间构形方法;在对多声部音乐作品对位形态与对位原则进行系统论述的基础上，给出了具体可操作的对位分析步骤、计算方法和调整原则等，初步得到了一个具有应用科学理论支撑的多声部音乐作品分析理论，并尝试着对音乐作品进行分析，得到了初步结果，研究成果对实际音乐作品的分析和创作具有一定指导作用。

【关键词】多声部音乐;对位技法;空间构形;音乐分析

【中图分类号】J614.2                      【文献标识码】A                      【文章编号】1002-767X（2020）12-0240-07

【本文著录格式】喻波.多声部音乐作品的空间构形与分析Part 1：对位技法[J].北方音乐，2020，06（12）：240-246.

引言

构形理论（constructal theory）[1]是由美国科学院的Bejan教授为解决集成电路在真空环境中的散热问题，于1997年创立的工程多目标优化理论。Bejan教授受古代城市内部街道网络的启发，提出“对于一个沿时间箭头方向（或为适应生存环境）进行结构演化的有限尺寸流动系统来讲，为流过其内部的‘流提供越来越容易通过的路径是决定其结构形成的根本原因”。换而言之，就是“事物结构及其演变的驱动力源自于自身某个性能的最优化需求”[2]。该理论最初主要用于卫星及航天飞机的电子系统设计，但现在已被扩展运用于空调及通风管路系统设计[3]、钢铁生产流程优化[4]、传热传质过程优化[5]、轨道交通设计[6]、生物的组织结构演化过程[7]、社会和政治体系结构预测[8]等多个方面。

本文的研究对象是多声部音乐（polyphony）[9]。多声部音乐由几个具有独立意义的旋律性声部同时结合在一起，构成丰富多样的织体形式[10，11]，其特征为几个旋律线在横向时间轴上各自构成完整形态，纵向上声部（旋律）与声部（旋律）之间又在一定的规则范围内进行。从结构上看，多声部音乐作品可以抽象成一类由多个声部交织、耦合，并沿时间箭头方向发展的空间构形，而为流过其内部的音乐流提供越来越容易通过的路径（作品结构）是决定其结构形成（即作品创作）的根本原因。换而言之，多声部音乐的结构形式是源自于作品发展最优化的需求。综上所述，既然一部多声部音乐作品可以抽象为一个特定的空间构形，那么这个构形从理论上讲就应该存在一个或多个最优点，而且这些最优点应该与作品发展的某个最优化需求（例如曲式、配器、和声、对位关系、高潮布局等）相关。

在传统的以对位法为基础的音乐作品分析写作中，需要分析者根据所学的对位法理论，对作品中所有位置的音一个一个校对，特别是在对三个以上声部的作品进行分析时工作量较大[11，12]。此外，由于每个音可以对应不同的音程关系，这就需要作曲家进行选择，而选择的原则除了基于音乐风格和原则之外，还需要根据前后旋律之间的联系，这也是基于对传统多声部音乐分析抽象结果而来。目前，除传统的逐一分析作品中各音和旋律之外，还包括运用模糊理论[16]、运用建模的方式进行创作[17]，以及运用数字图像的方式进行可视化分析[18]等。本文将构形理论引入多声部音乐作品进行分析，可以将音乐作品直接输入程序，快速、准确地得到分析结果，结果能够运用于修正写作中所出现的违背对位法基本原则的错误。一来拓展了音乐分析的方法，二来能够较为快速准确地判断作品是否符合要求，对多声部音乐作品创作具有一定的指导作用。

由于篇幅所限，本文主要研究构形理论在多声部音乐作品对位技法中的应用，至于构形理论与配器技术、和声原则、曲式结构等其他作曲技术理论的结合，将在后续文章中一一开展。

一、音乐作品的数字化与空间构形

（一）数字化

众所周知，音乐作品的最小构成元素是音（note），每个具体音高（pitch）和强度（intensity）的音沿时间箭头方向发展，通过作曲家的构思排列组合形成旋律（melody）;不同旋律相互交织形成声部（voice），多个声部交织构成作品（work）。

假设某个多声部音乐作品由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、……等若干个声部组成，记为P1、P2、P3、……;每个声部中分别有n1、n2、n3、……个音，记为ai（i=1～nⅠ）、bi（i=1～nⅡ）、ci（i=1～nⅢ）、……;那么可以通过式（1）对作品进行数字化处理。

式（1）中：ρ为音的音高，无单位，是否协和主要由音与音之间的对位关系决定;Ι为音的音强，单位分貝（dB），主要由和声原则和作品发展的必要性决定;t和分别为音开始和持续的时间，单位秒（s），主要由作品的需要确定。

在式（1）中，各个音的开始时间t与作品行进的速度（speed）和节拍（beat）有关，而持续时间一般为作品最小时值（minimum duration）的整数倍，可以通过式（2）计算得到。

式（2）中：S为作品行进的速度，单位拍/分钟（b/min）;b为节拍，单位拍/小结（b/bar）;nbar为已经进行的小结数，为无量纲的正整数;dmin为作品最小时值音，单位秒（s）;K为正整数。

本文中，以目前广泛使用的十二平均律作为律制，用C、#C（bD）、D、#D（bE）、E、F、#F（bG）、G、#G（bA）、A、#A（bB）、B来标记十二个音级，全部十二个相邻的音共同构成一个组（note group）;而相邻音组中相同音名的两个音及其间的变化音级，共同称为一个八度（octave）。为定量描述音高，我们以C大调的主音为基准，将其音高定为1;在此基础上，每增、减一个半音，音高加、减0.5，每增、减一个全音，音高加、减1。

按照上述原则，在一个八度内，量化后的音高如表1所示。当超过一个八度时，每增、减一个八度，在表1中同名音的对应音高基础上加、减6。

考虑到任何音乐作品的声部数量和各个声部中音的数量都是有限的，因此，在明确速度、节拍、最小时值等写作要素后，可以很方便地通过计算机编程实现多声部音乐作品的数字化并进行音高和音强的数值计算，进而分析各声部之间的对位关系并实现优化。

（二）空间构形

我们将多声部音乐创作中的各个重要关系在三维轴上进行划分：横向轴为时间（t），纵向轴为音高（ρ），而另一轴为音强（Ι）。

这样，数字化后的单个音就可以抽象为这个t-ρ-Ι空间中的一个点，而一个声部中所有音按时间排序后，可以绘制成一条t-ρ-Ι空间中的三维曲线。这条曲线在几何结构上能够反映本声部中乐曲的发展规律，其在音高（ρ）面和音强（Ι）面的投影，分别反映了本声部旋律和情绪的走向。一部音乐作品由多个声部组成，如果将每个声部都绘制成这样一条曲线，整个作品就可以抽象成一组在三维空间中相互纠缠、分离、平行、交叠，但是彼此独立发展的曲线簇。这组曲线簇中各个曲线的相对空间位置，在音高（ρ）面的投影可以反映出各声部之间的对位关系，而在音强（Ι）面的投影可以反映出各声部的同步性或异步性。

以贺绿汀的《牧童短笛》片段为例[12]，这是一个简单的两声部（上方声部标记为Ⅰ，下方声部标记为Ⅱ）音乐作品，如图1所示。

在按式（1）、式（2）和表1对作品进行数字化处理后，其空间构形如图2所示。

如图2可见，Ⅰ和Ⅱ两个声部的曲线在时间轴上是同步的，在音高（ρ）面上是相离或相交的，在音强（Ι）面上Ⅰ声部（基准声部）要强于Ⅱ声部，但两者的音强变化与主题发展保持一致。在根据分类对位法写作中，Ⅰ和Ⅱ两个声部之间的一音对一音对位关系可以用式（3）进行量化。

式（3）中：aiρ表示Ⅰ声部第i个音ai的音高，biρ表示Ⅱ声部第i个音bi的音高;δi（aiρ-biρ） 为ai和bi两个音相差的度数（degree），计算方法见本文3.2节;，即ai和bi之间相差了几个八度;fδ（Ⅰ?Ⅱ） 是将Ⅰ和Ⅱ两个声部压缩到一个八度以内后的最大度数差，反映了声部之间对位关系的正确与否。

二、音乐作品的对位原则

（一）对位法

对位法（Counterpoint），根據其词源意为“点对点”或“音对音”，最早出现于14世纪。对位法是研究两个或两个以上旋律同时结合的技术和理论。[13]18世纪奥地利音乐家、理论家福克斯（Fux J J 1660-1741）在对前人的音乐作品进行分析后，总结了一套理论用以训练学生，后世谓之“分类对位法”（Species Counterpoint），或以他的名字命名为“福克斯体系”。

分类对位法将作品中各声部的节奏关系分为五类，分别为一个全音对一个全音（简称一对一），一个全音对两个二分音符（简称一对二），一个全音对四个四分音符（简称一对四），一个全音对两个切分二分音符（简称一对切分），以及一个全音对混合节奏（简称一对混合）。在对位写作练习中，传统教科书多以格里高利素歌为题[14]，以C·F表示固定旋律（Canto Firmus），以Cpt标记对位声部，根据既定的旋律，以逐音相对的方式写出另外的旋律。

（二）对位原则

在对位写作中，声部与声部之间在纵向方面主要由一系列的和声音程关系构成统一的整体，分为协和音程与不协和音程项两种，其中，协和音程是指在音响效果上比较自然、协调的，又分为完全协和音程和不完全协和音程两类。

完全协和音程是纯一度、纯四度、纯五度、纯八度，不完全协和音程包括大、小三度，大、小六度。一般来说，在写作中完全协和音程不宜过多地连续应用，特别是同一音程的连续平行进行需要避免，否则容易造成空泛的效果，不完全协和音程则可以自由应用，但同一音程不宜连续使用超过三次。

不协和音程包括大、小二度，大、小七度，以及所有的增、减音程。在写作中，不协和音程是依附于协和音程进行使用的，处于从属地位，不独立使用，因此不协和音程需要“解决”到协和音程。

在具体的对位写作中，还需要遵守以下几点原则：

（1）声部进入要有先后，不能同时开始，但能同时结束;

（2）对于起讫音，若C·F在下方，则上方声部起始音以一度、三度、五度、八度作为起始音，若C·F在上方，则下方声部只能以纯一度或纯八度作为起始音;织体要有终止式;结束音必须为纯一度或纯八度;

（3）声部横向进行过程中，四度以上的大跳音程之后必须反向，不协和音程不能独立使用，需要解决（即进入协和音程）;在写作过程中，为了避免线条僵直，往同一方向的连续进行一般不超过五个音符;连续三个音的进行中，不可构成和弦琶音，尽量避免分解和弦同方向进行;避免同音反复，但可以使用延音线使该音跨小节持续;旋律进行中不能构成三全音;旋律线条清晰合理;合理使用外音;

（4）声部纵向关系方面，不能使用平行、反行、隐伏的八度和五度;大、小三度及其转位大、小六度使用较为自由，但连续三次以上的平行三度或者平行六度则不佳，需要避免;两声部间禁止声部交叉和超越，以免扰乱旋律线;除首尾外，进行中禁止出现同度音程;同一个和弦最多可以使用两个小节。

三、基于空间构形的音乐作品对位分析

（一）分析步骤

综合本文第1节给出的多声部音乐作品数字化与空间构形方法和第2节明确的对位形态与原则，就可以对任意复调音乐作品的对位关系进行构形分析，分析步骤如图3所示。

第一步，对多声部音乐作品进行数字化处理，并按照本文1.2节的方法建立待分析作品的空间构形。

第二步，以作品主要主题所在声部（通常为最先出现且音强高于其他声部的声部）为基准声部，将空间构形的曲线簇在音高（ρ）面上投影，并根据以下原则确定其他声部与基准声部的对位关系。

（1）如果其他声部中的某个音与基准声部中的某个音同时出现，即两个音的开始时间t相同，则该两个音发生对位;

（2）如果在其他聲部中找不到与基准声部中某个音同时出现的音，则取其他声部中在该基准音之后出现的音为对位音，此时会出现两种情况：

a.当其他声部中对位音的持续时间不超过基准音时，只与基准音发生对位;

b.当其他声部中对位音的持续时间超过基准音时，与基准音及其后续音同时发生对位。

（3）对于跨小节的情况，其他声部中的延留音（vorhalt），视作本声部后一小节的第一音，并按照（1）和（2）的原则与后一小节基准声部中的音发生对位。

第三步，计算各声部中各对位音与基准音相差的度数，具体计算方法见本文3.2节。

第四步，根据第三步计算得到的度数差，按本文2.2的原则进行对位计算与分析判断，确定声部之间是否协和。

最后，根据判断结果进行调整优化，具体优化方法见本文3.3节。

（二）计算方法

1.度数差

在同一个八度内，不同音高音之间的度数差描述如表2所示。

为定量分析不同音之间的度数差并进行数值计算，对表2中进行如下量化处理：

（1）“纯一度”时两个音相同，度数差定义为0;

（2）二、三、六、七度音存在大、小之分，因此，分别将“小二度”“大二度”“小三度”“大三度”“纯四度”“纯五度”“小六度”“大六度”“小七度”“大七度”和“纯八度”依次量化为0.5、1、1.5、2、2.5、3.5、4、4.5、5、5.5和6;

（3）出现“增”或“减”度数的，度数差在（2）定义的基础上增大或减小0.5，出现“倍增”或“倍减”度数的，度数差在原有基础上增大或减小1。

按照上述原则，量化后的同一个八度内不同音的度数差如表3所示。

表3为同一个八度内不同音之间的度数差，当两个音的音高差超过一个八度时，每相差一个八度（无论增减），度数差均在表3的基础上加6度，映射关系如式（6）所示。

式中：δab和分别为a、b两个音的实际度数差和压缩到一个八度以内的度数差;aρ、bρ为a、b两个音的音高;int表示取整数。

2.对位计算

假设某个多声部音乐作品由N个声部组成，其中基准声部定义为Ⅰ声部，其他N-1个声部各有ni（i=2～ N）个音与基准声部发生对位。根据本文2.2节的对位原则，当第i声部中的所有对位音的音高满足式（7）时，第i声部与基准声部是完全协和的。

当第i声部中的对位音不满足式（7）但满足式（8）时，第i声部与基准声部是不完全协和的。

式中：aijρ表示基准声部中与第i声部发生对位的第j个音aij的音高，bijρ表示第i声部中与基准声部发生对位的第j个音bij的音高;δj（aijρ-bijρ） 为aijρ和bijρ两个音的度数差;NOij表示aij和bij之间相差了几个八度。

将式（6）代入式（7）和式（8）中，整理可得作品是否协和的判定公式（9）。

1）完全协和

2）不完全协和

3）不协和

式中：为基准声部与第i声部的第j组对位音aij和bij在一个八度以内的标准度数差，由表3查得。

（三）调整原则

以对位法原则创作的音乐作品主要通过调整音高的方式，消除各声部中与基准声部的不协和音程，实现作品的对位优化，调整的基本原则如下：

（1）调整不协和音时，应尽量调整到与其最近的协和音，以实现声部间对位关系的完全协和或者不完全协和;

（2）调整时应避免使用纯一度，即采用同音的方式消除不协和音程;

（3）调整尽量在一个八度中进行，以保持旋律进行的流畅;

（4）为防止声部缺失（即作品从听觉上仿佛少了一个声部），应避免调整后的声部与基准声部出现平行八度或者平行五度的现象;

（5）调整时要避免上下两个声部之间出现声部交叉和超越。

四、理论运用与实践

以上海音乐学院出版社的《复调音乐简明教程》第一章“例1-1”中的固定低音旋律片段为对象[15]，对运用本文提出的空间构形理论和方法进行对位分析与优化，待分析作品如图4所示。

按照本文3.1节的分析步骤将某待分析作品数字化，并建立其空间构形如图5所示。

由图5分析可得该作品的两个声部共有10组对位音，其对位关系以及根据表3和式（6）计算得到的度数差如表4所示。

是否协和 完全协和 不完全协和 完全协和 完全协和 完全协和 不完全协和 不协和 不完全协和 完全协和 完全协和

将表4中计算得到的度数差代入判定公式（9）中，计算得：

由式（10）可知，该作品两个声部之间存在不协和音程的对位错误，通过对图5的分析，并根据本文2.2节中给出的对位原则，可进一步确定该作品的不协和现象具体表现为如下三点：

（1）存在不协和音（B?F）单独使用的现象;

（2）两个声部的同方向音连续进行;

（3）相邻两小节的强拍位置为五度。

针对上述具体的不协和现象，按照本文3.3节的优化原则对作品进行调整，优化后的结果如图6所示。

此时，其声部之间的对位关系和度数差如表5所示。

将表5中计算得到的度数差代入判定公式（9）中，计算得：

由式（11）可知，經调整优化后的作品消除了声部的对位错误，也实现了声部间对位关系的不完全协和。

五、结论

本文试图将构形理论应用于作曲技术领域，提出一种具有现代应用科学理论支撑的多声部音乐作品分析方法，并给出了具体的分析步骤、计算方法和调整原则。该方法通过作品的数字化和空间构形揭示多声部音乐作品的结构形成过程，丰富了研究思路，拓展了分析方法。经过在实际音乐作品中的应用，证明该方法能够较为快速地分析研究多声部音乐作品的对位关系，对创作和分析具有一定参考价值。但这仅仅是一种尝试，还需要运用该方法对相关作品进行进一步的应用分析，并不断完善。

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作者简介：喻波（1982—），女，汉族，浙江杭州，江西省南昌工程学院，讲师，上海音乐学院2017级博士研究生，研究方向：作曲技术理论。