王耀杨

随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广。作为数学的一个重要部分，概率也同样发挥着越来越广泛的用处。在九年级《数学》中，我们会学习到与概率相关的简单知识。其实在更早以前，在我们猜拳、掷骰子，或抽样调查、买彩票时，都是在和概率打交道。计算概率也许不需要我们掌握多难的算式，但却需要我们开动脑筋，根据条件建立起数学模型。下面就让我们从这几个身边的案例入手，探索概率的神奇吧！

福尔摩斯的破案概率有多大？

对于喜爱推理文学作品的人来说，亚瑟·柯南·道尔无疑是令人耳熟能详的名字。他笔下的神探福尔摩斯，面对初次见面的人，就能从体态、服饰等细微之处看出对方的很多经历。

现实世界中是否真的存在这样神奇的大侦探？书中的描写是否只是作家的夸张呢？我们试着用数学的思想来分析一下福尔摩斯的神奇能力;或者更具体地讲，用概率的思想来分析。

首先，福尔摩斯使用的推理确实是有道理的，比如观察人的手掌来推测他以前做过什么工作，这是符合经验的。但是细想一下，这样的推理并不像我们熟悉的数学推理那样，是“必然成立”的。也就是说，通过观察手掌得出的结论不一定正确。像福尔摩斯这样经验丰富的高手，说不定能够有90%的正确率，或者说，他推测正确的概率能达到0.9;要是换一个人，说不定也就只有0.8甚至更低。

但是，就算福尔摩斯的推测成功概率很大，要做到书中那样神奇，还是很难的。我们不妨虚拟一个案子，通过计算来说明这一点。假设有一个案件一共涉及6个线索，福尔摩斯通过观察现象找到一个正确线索的概率是0.9，那么他找到全部正确线索，从而对案情做出正确分析的概率是多少呢？如果假设这些线索是彼此互不干扰的，那么得到全部6个正确线索的概率是6个0.9的乘积，也就是0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.90.53，就只比0.5大一点点。如果换一个略逊于福尔摩斯的侦探，他每次得到正确线索的概率只有0.8，那么他成功破案的概率就只有0.8x0.8x0.8x0.8x0.8x0.80.26，破案的成功率大幅下降;要是每次得到正确线索的概率是0.7，那成功破案的概率更是只有可怜的0.11。

当然，前面我们说的概率0.9，是指“凭借经验一下子做出判断”得到正确结果的概率，而在真正的断案过程中，需要刑侦人员付出大量的时间和精力去反复查证核实，那么当他们推断出有效线索时，正确率可以无限接近于100%！那么不管经过多少次连乘，最终的结论仍然可以是高度可信的。

阅读题中，你能否猜中作者的心？

讲到这里，相信又会有爱动脑筋的读者要问了：阅读理解题中，经常要求我们根据文章词句推测作者表达的思想感情，这是不是也很不可靠？相信大家都听过一个笑话：如果任由一个读者展开想象，对作品进行解读，那么他很可能得出连作者自己都想不到的结论来！

不过，下面我要说的可能会让你感到吃惊：恰恰相反，我们平时所学的分析课文的方法，至少从概率的角度来分析，其实是非常可靠的。利用正确的方法，能够以极大的概率得到正确结论。什么，你不信？那我们还是举例来算一算！

首先，我们假设自己做出推测的依据是找到某些词句，比如当我们看到“手舞足蹈”时感觉作者似乎是要表达某个人很高兴，而“衣不遮体”这样的形容多半是想说某个人很贫穷，进而引发同情。当然，实际的推测方式往往更复杂，毕竟我们的汉语表达方式很多元，而一些作家駕驭语言的水平又是那样的令人仰视。

现在，作为一个文学鉴赏领域的新手，我们假设自己做出这样一个推测的正确率只有70%，然后把自己代入课堂中。课上，语文老师需要你找出说明主人公很高兴的证据，短暂的准备之后，你一共找到了3个。那么，是否能据此说明你成功地推测出“主人公非常高兴”这一含义？答案是能！

为什么？我们假设你找到的第一个证据是错误的，前面我们说过，做出一次正确推测的概率是0.7，那么错误推测的概率就是1-0.7=0.3。

那么你找到的3个证据全都错误，这件事的概率有多大呢？与前面侦探寻找破案线索的例子类似，我们假设这些证据彼此没有联系，那么它们全错的概率就是0.3×0.3×0.3=0.027。也就是说，仅有2.7%的可能是作者完全没有要表达“主人公很高兴”的意思！反过来说，作者“不是没有这个意思”的概率高达97.3%！这个说法虽然看起来有点怪异，但是它符合文学评议的结论模式：我们不是要断言哪个说法一定对，哪个说法一定错，而是分析哪个说法有道理，让人可以接受。

我为什么总是赶不上公交车？

看到这里，可能有读者会感到奇怪：不是要讲数学里面的概率思想吗？为什么一直到现在，说的都是些文学的事情呢？其实，数学里面所说的“思想”可以理解成一种视角，我们从这个角度出发，去审视现实生活中遇到的各种事情，并不一定要局限于某些特殊的问题类型。

想必大家都有乘坐公交车的经验吧？不知道你们有没有这种感觉，等公交车时经常会遇到两件令人无比郁闷的事情：一是“每次我到车站时总是刚好没有赶上”，二是“我要乘坐的车总是迟迟不来，不要坐的车却是来了又来”。当然，后一件事通常是在若干种不同路线的公交车共用同一候车站时才会发生。

下面我们用概率思想来分析一下，就说说“刚好没有赶上”这件事吧。假设公交车每隔10分钟来一趟，而我到达车站的时刻是不确定的，或者说不同时刻到达车站的可能性相同。那么“刚好没有赶上”是什么意思呢？

实际上它是由两种极限状态所夹住的一个时间段：一种极限状态是，当我走到能看见车站的某个固定位置时，正好看到远处开来的车，但是来不及在公交车离开前走过去，所以内心的感受就是“刚好没赶上”;另一种极限状态是，当我走到能看见车站的某个固定位置时，看到某辆车已离站一段，但并没有远离到看不清的程度，这时我也会产生“刚好没赶上”的心理印象。

如图，我们把时间表示成一条直线，红色三角指示的点对应公交车关门的那一刻。在这一刻两侧有一个时间段，用绿色矩形表示。接下来，如果我们走到能看见车站的某个固定位置的时刻恰好位于矩形范围内，就会产生“刚好没有赶上”的印象。假设公交车的运行非常有规律，并且“我们走到能看见车站的某个固定位置的时刻”在时间轴上任一点上的可能性都相同，那么“刚好没有赶上”发生的概率就是矩形的长边与两个红色三角之间距离的比值。这个比值在不同的具体情境中必然不同，但一般会在0.2～0.4之间。这个概率看起来似乎不大，但是人的心理感受常常会给不良体验赋予额外的重要性，简单地说就是“坏事儿总是令人印象深刻些”。

关于“我要乘坐的车总是迟迟不来，不要坐的车却是来了又来”这件事，有兴趣的读者可以试着用概率思想解释一下，再讲给身边的亲友听听，看看你的解释能不能令人信服。

答案解析

我坐的车怎么还不来？

在生活中，我们总会遇到“我坐的车总不来”的情况，这是怎么回事呢？我们先把条件设得具体些：假设一个公交车站有6种不同的车，其中只有1种是我们要乘坐的;由于对各种车的日常运行规则不熟悉，假设我们到达车站的时候，每种车到站的概率都相等，因此都是1/6。一般来说，如果某种公交车刚来了1辆，那么接下来的短时间内它也就不会来了。按照上述假设，在我们到达车站之后，赶来的第一辆车就是我们要坐的车，这件事发生的概率只有1/6。那么下一辆车呢？刚来的那种车短时间内不会再来了，所以接下来5种公交车各自出现的概率相同，因此等到车的概率是1/5;继续等，下一辆车该是我们要坐的车了吧？其实概率只有1/4。按照这样的分析，连等三辆都不是的概率是。

需要说明的是，你的心理感受还与现实情境的加成效果有关。通常等公交车时你都是正想赶往某处，那么等不来车就会带来更为显著的负面情绪，从而放大了概率本身实际的感觉。我们换个情境：假设6个彩蛋中只有一个有奖品（而且是一个对你来说可有可无的小奖品），那么接连敲碎3个蛋都没有中奖的概率也是1/2，所涉及的基本模型和计算过程和前面完全一样。但是你却不会感到这是多么尴尬的事情，哈哈一笑也就过去了。

（責任编辑 / 陈莹   美术编辑 / 张志浩）