杜先存, 梁开元, 王 凤

(红河学院 教师教育学院, 云南 蒙自 661199)

方程x3±a3=Dy2(a∈Z+,D是无平方因子的正整数)是一类重要的丢番图方程,其整数解受到越来越多的学者的关注,a=1时结论比较多[1-3].a=5时已有部分结论,当D不含6k+1形素因子的情况已基本解决.D含1个6k+1形素因子的情况仅有部分结论,主要为:当D仅含一个6k+1形素因子时结论见文献[4-5];当D含素因子2,且含一个6k+1形素因子时结论见文献[6-7];当D含素因子3,且含一个6k+1形素因子时结论见文献[8-11].当D同时含素因子2及3,且含一个6k+1形素因子时,目前还没有相关结论,本文研究了此情况.

1 相关引理

ⅰ)q=27t2+1(t∈N) ;

ⅱ)q=12t2+1(t∈N);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N).

ⅰ)q=27t2+1(t∈N);

ⅱ)q=12t2+1(t∈N);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N).

2 定 理

定理1 设q≡1(mod 6)为奇素数,则丢番图方程

x3+53=6qy2,

(1)

在满足下列条件时,仅有整数解(x,y)=(-5,0):

ⅰ)q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅱ)q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),t≡1,2,3(mod 5).

定理2 设q≡1(mod 6)为奇素数,则丢番图方程

x3-53=6qy2,

(2)

在满足下列条件时,仅有整数解(x,y)=(5,0):

ⅰ)q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅱ)q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5);

ⅲ)q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),t≡1,2,3(mod 5).

3 定理证明

当x≢0(mod 5)时,因为gcd(x+5,x2-5x+25)=1或3,而x2-5x+25≢0(mod 2),则方程(1)可分解为以下8式:

情形Ⅰx+5=6qu2,x2-5x+25=v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅱx+5=6u2,x2-5x+25=qv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅲx+5=2qu2,x2-5x+25=3v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅳx+5=2u2,x2-5x+25=3qv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅴx+5=18qu2,x2-5x+25=3v2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅵx+5=18u2,x2-5x+25=3qv2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅶx+5=6qu2,x2-5x+25=9v2,y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅷx+5=6u2,x2-5x+25=9qv2,y=3uv,gcd(u,v)=1.

以下分别讨论这8种情形下方程(1)的解的情况.

情形Ⅰ 由x2-5x+25=v2得x=-16,-3,0,5,8,21,则6qu2=-21,-8,-5,0,3,16,显然无解,故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ 由x2-5x+25=qv2配方得(2x-5)2+75=4qv2,把x=6u2-5代入可得9(4u2-5)2+75=4qv2,两边取模3,得由qv2≡0(mod 3).又q=27t2+1(t∈N)或q=12t2+1(t∈N)或q=3(3t+1)(3t+2)+1(t∈N),则有q≡0(mod 3),因此有v≡0(mod 3),则由x2-5x+25=qv2得x2-5x+25≡0(mod 3),即有gcd(x+5,x2-5x+25)=3,这与gcd(x+5,x2-5x+25)=1矛盾,故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅳ 由x2-5x+25=3qv2配方得(2x-5)2+75=12qv2,两边取模5得

(2x-5)2+75≡12qv2(mod 5).

(3)

因为:

仿情形Ⅲ的证明可知情形Ⅴ不成立.

仿情形Ⅳ的证明可得情形Ⅵ不成立.

情形Ⅶ 由x2-5x+25=9v2配方有(2x-5)2+75=36v2,把x+5=6qu2代入得(12qu2-15)2+75=36v2,两边取模9,得3≡0(mod 9),矛盾,故情形Ⅶ不成立.

仿情形Ⅶ的证明可知情形Ⅷ也不成立.

综上所述,Diophantine方程(1)在题设条件下仅有整数解(x,y)=(-5,0),定理1得证.

根据引理2,仿定理1的证明可知定理2成立.

4 结 论

本文通过利用初等方法得出了q≡1(mod 6)为奇素数时,丢番图方程x3±53=6qy2当q=27t2+1,t≡0,2,3(mod 5)或q=12t2+1,t≡0,2,3(mod 5)或q=3(3t+1)(3t+2)+1,t≡1,2,3(mod 5)时的整数解的情况,此结果对于该类丢番图方程的求解起了一定的借鉴作用,同时推进了该类丢番图方程的研究.