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科学倒打一耙

2020-06-22 07:44:07 《视野》 2020年12期

林欣浩

这是一个天才中的天才。

就不说他三岁指出父亲账本的错误,不说他22岁获得博士学位,也不说他25岁当选院士,更不说他精通六七种语言。

只说他19岁的时候就想出了正十七边形的尺规画法。在他之前的所有大数学家,包括牛顿在内,都没能想出这方法来。当然,我知道,您大概跟我一样,对这什么什么边形没什么概念。正好网上可以搜到画这个正十七边形的动画,您自个儿看一下就能感受到了。我的意思是,别说19岁了,就算你我学到29岁,这画法咱都未必能学会。

这个人您大概猜出来了,他叫高斯,法国人,人送外号“数学小王子”。

高斯一生获得了无数荣誉,无论是社会地位还是学术地位都很高。但是他在数学上有一项重大的发现,却因为害怕社会压力一直没有发表,直到他去世以后,人们才从他的书信和笔记中知道了这个发现。

到底是什么数学发现让已经名扬天下的高斯如此恐惧呢?

1826年,在俄罗斯的喀山,一位叫罗巴切夫斯基的数学家发表了一篇古怪的演讲。在严肃的学术会议上,他突然谈起什么平行线可以相交、三角形内角之和不等于180度等等古怪的定理。这正是高斯不敢发表的那些发现。事实证明高斯的谨慎是对的,就是因为说出了这些发现,罗巴切夫斯基一生遭到了各种压力,攻击和嘲讽接踵而来,晚年的时候连大学教职都被剥夺了。

他到底发现了什么呢?

罗巴切夫斯基其实没想这么叛逆。我们前面讲欧氏几何里有五条公设,其中第五条公设非常复杂,很多数学家都想通过前四条公设证出第五条来,结果都没有做到。罗巴切夫斯基也想这么做,但是他别的办法不用,非要用归谬法。归谬法是什么意思呢?就是先假设第五公设不成立,然后只要能推出不成立的第五公设和其他公设有矛盾,就可以证明第五公设是多余的了。

罗巴切夫斯基假设第五公设不成立以后,他使劲地证啊证,越证越不对劲儿,为啥所有的结论都和前四个公设不矛盾呢?结果罗巴切夫斯基发现,嘿,把第五公设改了以后,新的第五公设和前四个公设竟然还是相容的,这不就形成一个全新的几何体系了吗?而且这个几何体系和欧氏几何的各种定理全都不一样。后来这个体系就被称为非欧几何学。这可真是数学界的一大发现!罗巴切夫斯基很激动地发表了自己的看法,结果却换来数学界的一片嘲笑。

这是为什么呢?

我就问大家一句话,朋友们,你们能想象出平行线相交的情况吗?

假如你在上中学数学课的时候,举手问老师说:“老师,为什么平行线不能相交呢?”

老师多半会回答说:“大哥呀,平行线的定义就是‘在平面内两条不相交的直线——再捣乱就给我出去!”

你看,一般人根本没法想象什么叫“平行线相交”,这话完全是没意义的嘛,罗巴切夫斯基时代的很多数学家也是这样,所以都不理解罗巴切夫斯基的想法。

另一个研究非欧几何学的法国人黎曼,也没从这发现中得到多少好处。黎曼也是个天才型的数学家,受到过高斯的高度评价。但即便如此,黎曼在当上大学教授之前非常贫苦,时常要饿肚子。他建立的黎曼几何学并没能给他带来财富。因为贫病交加,黎曼39岁就去世了。

在黎曼去世50年后,爱因斯坦创立了震惊世界的相对论。爱因斯坦证明,牛顿描述的世界不够准确,相对论才描述了世界的真实样子。

然而,爱因斯坦有物理理论却找不到数学工具来表达它。为此爱因斯坦苦苦思索了三年也没有结果,直到他的一位数学家朋友从旧纸堆中发现了黎曼的著作,并惊喜地发现,这理论能完美地表达相对论。

从此,学术界才意识到,非欧几何学不是疯人的臆想,反倒能揭示世界的真相。

在小学数学课上,常常有孩子这么问老师:

“老师,什么叫公理?”

大部分老师都会严肃地回答:

“大家公认的道理就是公理。”

但如果你此时已经继承了苏格拉底的怀疑精神,那么你就应该反问道:“那么老师,到底有多少人公认才算是公理呢?我承认有用吗?”

老师说:“废话,你是小孩,你承不承认有个屁用!”

你又说:“那大人承认有用吗?公理应该让全民投票吗?要是全民投票,布鲁诺不还是应该被烧死吗?”

老师说:“只要数学家都承认就可以了。”

你又说:“那什么样的人才能算数学家呢?是根据考试产生吗?还是投票产生呢?抑或是根据学历吗?再说,数学家之间也投票吗?哪边人多哪边就正确吗?那会不会是这样的场景呀——某个礼拜天的早晨,剑桥大学数学系里人声鼎沸,如同证券交易所一般。负责接听电话的助教兴奋地大喊:‘就差一票啦!就差一票就可以压过牛津那帮孙子啦!数学系教授们焦急地互相询问:‘谁?谁还没投票?只有罗素沉着地说:‘快把维特根斯坦叫起来,丫一定在赖床,每次投票他都缺席!呃……老师,是这样的吗?”

于是老师只能说:“你給我出去!”

今天我们知道,老师们这么回答其实是蛮不讲理。

公理不是什么公认的道理,公理是硬性规定的。

但是在非欧几何出现之前,大部分知识分子对几何公理的看法和咱们老师的说法差不多。谁能认为平行线还可以相交呢?

因此我们前面说,理性主义者相信这世上存在着某种先验的真理,根据之一就是欧氏几何的存在。哲学家们觉得,欧氏几何中的图形不存在于任何一个日常事物中,但是却可以概括世间的一切平面形状,这不是表明世间存在着某种神秘秩序吗?但是非欧几何的出现说明,欧氏几何并没有什么超然的独特性,不过是我们对世界众多描述方式中易用的一种罢了。因而哲学家们对先验理性存在的信心也就降低了。