2020年台湾地区学测(数学)选择题赏析
2020-06-05钟劲松
钟劲松
1 前言
台湾地区学科能力测试(简称“学测”)包括国文、英文、数学、社会、自然五科,旨在测验考生是否具有接受大学教育的基本学科能力,是大学校系初步筛选学生的门槛. 2020年台湾地区数学测试考试共20道题,其中单选题7道(试题1-7),多选题6道(试题8-13),选填题7道.考试时间共100分钟,满分100分.本文对台湾地区学测考试(数学)的选择题进行解析和点评,并对其特点进行总结,旨在让读者大致了解台湾地区学测考试的主要内容和特点.
2 试题赏析
试题1 已知两个直角三角形三边长分别为3、4、5,5、12、13,α,β分别为它们的一角,如图1所示. 试选出正确的选项().
解析 根据图形可知,sinα=35,sinβ=513,因为sin30°=12,又因为513<12<35,所以sinβ 点评 本题考查了正弦在直角三角形中的定义, 根据正弦函数y=sinx,x∈0,π2的单调性 比较数值大小即可得到答案,属于一道较容易题. 试题2 空间中有相异四点A,B,C,D,已知内积AB·AC=AB·AD.试选出正确的选项. (1)AB·CD=0;(2)AC=AD;(3)AB与CD平行;(4)AD·BC=0;(5)A,B,C,D四点在同一平面上. 解析 根据题意可知AB·AC=AB·AD,所以 AB·AC-AB·AD=0AB·AC-AD=0AB·CD=0,所以选项(1)正确,故选(1). 点评 本题无需计算出数量积的具体数值,只需要稍作变形即可得到答案.实际上,根据AB·AC=AB·AD可知AC,AD在AB上的投影相等,且C,D是不同的两点,所以有AB·CD=0. 试题3 如图2所示,O为正六边形之中心.试问下列哪个向量的终点P落在△ODE内部(不含边界)? 解析 要使终点P在△ODE内(不含边界),不仅要结果向量的方向在边界内,而且还要使结果向量的终点落在△ODE区域内.据向量加法的几何意义,选项(1)对应的点P在射线OD上,且OP=OD=OC+OE, 同理,根据向量加法的几何意义知 选项(3)(4)(5)对应的点P(OP的方向)均不在△ODE区域内,所以选项(2)正确. 点评 本题考查了向量的有关运算(向量的加法和数乘),本题不需要设坐标进行代数运算,只需要了解和理解向量加法的几何意义即可.本题以特殊的平面图形——正六边形为载体,从形的方面考查对向量加法几何意义本质的理解. 试题4 令I=1001,A=1134,B=I+A+A-1,试选出代表BA的选项. (1)1001;(2)6006;(3)4-1-31;(4)1134;(5)661824. 解析 因为B=I+A+A-1,等式两边同乘以矩阵A可得. 因为BA=IA+A2+A-1A=10011134+11342+1001=661824,所以BA=661824,故选(5). 点评 本题考查了矩阵的加法和乘法运算,特别注意的是运算技巧,不要首先将矩陣B算出来,再与矩阵A相乘,这样比较复杂. 同样也不要将计算矩阵BA的值算成计算矩阵AB的值.一般情况下,矩阵的乘法不满足交换律.实际上,上面的计算过程还可以简化为BA=IA+A2+A-1A=IA+A2+I=(I+A)A+I,同样可以得到正确的结果. 试题5 试问数线上有多少个整数点与101的距离小于5,但与点38的距离大于3? (1)1个;(2)4个;(3)6个;(4)8个;(5)10个. 解析 因为10<101<11,所以数线上与101小于5的整数点有x=6,7,8,9,10,11,12,14,15,共10个;又因为6<38<7,所以数线上到38的距离大于3的整数点满足x10或x≤3. 所以,满足与101的距离小于5,且与点38的距离大于3的整数点有x=10,11,12,13,14,15,共6个,故选(3). 点评 本题考查了绝对值不等式的解法,将同时满足两个条件的整数点在数线(即数轴)上表示出来,不难得出共6个整数点满足条件.实质上,本题考查了数形结合的思想和估算的能力,考生若能运用数形结合的思想,并在估算方面能力较强,不需要运算就可以又快又准地得出答案. 试题6 连续投掷一公正骰子两次,设出现的点数依序为a,b.试问发生log(a2)+logb>1的概率为多少? (1)13;(2)12;(3)23;(4)34;(5)56. 解析 投掷一公正骰子两次,共有6×6=36种可能结果. 又因为loga2+logb>1,所以a2b>10. 我们先考虑a2b≤10的情况: 当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共6种结果; 当a=2时,b=1,2,共2种结果; 当a=3时,b=1,共1种结果. 所以,发生log(a2)+logb>1的概率p=36-(6+2+1)36=2736=34,故选(4). 点评 本题为一道求古典概率题,从正面求满足a2b>10的整数对(a,b)的个数较多,所以从反面求a2b≤10的整数对(a,b)的个数(共6+2+1=9(个)),体现了处理数学问题时正难则反的思想.本题将求古典概率与对数函数的变形交汇,在知识的交汇处命题.值得注意的是这里loga表示以10为底a的对数,等同于大陆教材中常用符号lga. 试题7 坐标平面上,函数图形y=-3x3上有两点P,Q到原点距离皆为1.已知点P坐标为cosθ,sinθ,试问点Q坐标为? (1)(cos(-θ),sin(-θ));(2)(-cosθ,sinθ);(3)(cos(-θ),-sinθ);(4)(-cosθ,sin(-θ));(5)(cosθ,-sinθ). 解析 因为y=-3x3是奇函数,其图形关于原点成中心对称,P,Q到原点距离皆为1,所以P,Q两点关于原点成中心对称,因为Pcosθ,sinθ,所以Q(-cosθ,-sinθ),即Q(-cosθ,sin(-θ)),所以选(4). 点评 本题考查的知识点有幂函数和三角函数的性质,关键是根据P,Q两点到原点距离皆为1推导出P,Q关于原点成中心对称. 试题8 有一个游戏的规则如下:丢三颗公正的骰子,若所得的点数恰满足下列(A)或(B)两个条件之一,可得到奖金100元;若两个条件都满足,则共得200元奖金;若两个条件都不满足,则无奖金. (A)三个点数皆为奇数或者皆为偶数 (B)三个点数由小排到大为等差数列 若已知有两颗骰子的点数分别为1,3,且所得的奖金为100元,则未知的骰子点数可能为何? (1)2;(2)3;(3)4;(4)5;(5)6. 解析 因为所得奖金为100元,则三个点数满足条件(A)(B)之一. 当未知的骰子的点数为2时,符合条件(B),但不符合条件(A),所以选项(1)正确; 当未知的骰子的点数为3时,符合条件(A),但不符合条件(B),所以选项(2)正确; 当未知的骰子的点数为4时,条件(A)(B)均不满足,选项(3)错误; 当未知的骰子的点数为5时,条件(A)(B)均满足,选项(4)错误; 当未知的骰子的点数为6时,条件(A)(B)均不满足,选项(5)错误. 故选(1)(2). 点评 本题是多项选择题,较为容易,认真审题即可得到正确答案. 试题9 在坐标平面上,有一通过原点O的直线L,以及一半径为2、圆心为原点O的圆Γ.P,Q为Γ上相异两点,且OP,OQ分别与L所夹的锐角皆为30°,试选出内积OP·OQ之值可能发生的选项. (1)23;(2)-23;(3)0;(4)-2;(5)-4. 解析 根据题意可知,OP,OQ的夹角可能为60°,120°,180°,所以OP·OQ=|OP||OQ|cos〈OP,OQ〉. 当〈OP,OQ〉=60°时,OP·OQ=22cos60°=2; 当〈OP,OQ〉=120°时,OP·OQ=22cos120°=-2; 当〈OP,OQ〉=180°时,OP·OQ=22cos180°=-4; 所以,正确的选项为(4)(5). 点评 本题考查了考生的分类讨论的思想和向量的数量积等知识的运用,注意到直线和向量的区别. 根据题意,OP,OQ的夹角有3种情形,如图3所示,即〈OP,OQ〉=180°,〈OP,OQ1〉=60°,〈OP,OQ2〉=120°.值得一提的是,選项中并没有答案为“2”这一选项,也就是说,在多项选择题的命制中,选项不一定要覆盖所有可能值. 试题10 已知多项式f(x)=3x4+11x2-4,试选出正确的选项. (1)y=f(x)的图形与y轴交点的y坐标小于0; (2)f(x)=0有4个实根; (3)f(x)=0至少有一个有理根; (4)f(x)=0有一根介于0与1之间; (5)f(x)=0有一根介于1与2之间. 解析 对于选项(1)来说,y=f(x)的图形与y轴交点的y坐标,即当x=0时y的值,显然有y=f(0)=-4<0,选项(1)正确; 对于选项(2),因为f(x)=3x4+11x2-4=(3x2-1)(x2+4),当f(x)=0时,有3x2-1=0或x2+4=0,显然,f(x)=0只有两个不同的实根x1,2=±33,其余两个根为虚根x3,4=±2i(i为虚数单位,即i2=-1),故选项(2)错误; 对于选项(3),由选项(2)可知,f(x)=0没有一个有理根,4个根分别为两个无理根,两个虚根,故选项(3)错误; 对于选项(4),因为0<33<1,故f(x)=0有一根介于0与1之间,选项(4)正确,选项(5)错误. 点评 本题从多个方面考查了多项式函数(次数为4)的图形和性质,如图形与y轴交点的纵坐标的正负,根的类型和根的范围等等. 首先,遇到与多项式函数有关的问题时,因式分解是关键,将高次降为低次进行问题解决. 其次,若不能够因式分解,则运用多形式函数的有关定理,如余数定理、综合除法、虚根成对定理、代数基本定理和插值公式来解决问题. 试题11 设a,b,c为实数且满足loga=1.1,logb=2.2,logc=3.3.试选出正确的选项.