追求“四主”的数学教学
2020-06-05余业兵张晓斌李忠如
余业兵 张晓斌 李忠如
1 从一次课堂上的尴尬谈起
事情发生在2010年,笔者在高三(高2011级)一轮复习习题讲评课上.
例题 (2009年湖北黄冈中学模拟题) 已知不等式a-2x>x-1对任意x∈0,2恒成立,则实数a的取值范围是().
A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,2)∪(5,+∞)
C.(2,5) D.(1,5)
选A选B选C选D合计
频数68人31人7人6人112人
频率60.7%27.6%6.3%5.3%100%
当时学生做的情况很糟糕,只有31人选B,正确率27.6%,很多人选了A.
讲评如下:
师:x∈[0,1)时,不等式显然恒成立,故问题等价于不等式对于x∈[1,2]恒成立.
所以有a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[1,2]恒成立,即:a>3x-1或a<1+x对x∈[1,2]恒成立,
所以:a>5或a<2.(对自己讲解的答案很自信,完全没有料到好些个学生不服气,生1直接站了起来).
生1:老师,问题是我觉得我选A没错啊.
师:你说说看(不大相信).
生1:你不是说“f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”吗!
所以问题等价于a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[0,2]恒成立啊!
即:a>3x-1或a<1+x对x∈[1,2]恒成立,所以a>5或a<1, 这样就该选A(对自己的解答很自信).
师:……好像也没有什么问题啊……(心里发慌了,后悔备课时没有考虑全面,只有出绝招了)有知道的吗?(看没有人出声)留作课后思考,想到的有奖哈……
教后反思 尴尬造成的原因是“f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”虽是正确的,但却不一定是化简后的最终结果.比如:不等式“|x|>-x”虽等价于“x>-x或x
2 讲清楚后仍然困惑
有了这次失败的讲解后,新的一届(高2015级)讲解新课和一轮复习时我特别注意这个知识的讲解,一轮复习教学片段如下:
问题 “|x|>a(a>0)x>a或x<-a”,如果把“a>0”改为“a∈R”还等价吗?
生:是等价的,因为当a=0时,“|x|>0” 和“x>0或x<-0”都表示的是“x≠0”;当a<0时,“|x|>a”的解集是R, 而从数轴上看“x>a或x<-a”的范围也是R啊!
师:非常好,那在a<0时,它是最简形式吗?
生:不是,应该是R.
师:非常好,那不等式x-1>a的解集是{xx>1+a或x<1-a}吗?
生:不对吧,应该要分三种情况写吧.
师:很好,最终的答案必须是化简后的结果.
追问 “f(x)>g(x)”与“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”等价吗?
生:等價吧,因为“|x|>a”与“x>a或x<-a”对于a∈R都是等价的,这当然是等价的.
师:很好,你能解不等式1-2x>x-1吗?到黑板上把它写下来.
生:原不等式等价于1-2x>x-1或1-2x<1-x,故解集为-∞,23∪0,+∞.
例1 解下列不等式
(1)3x-1 讲解略. 改进后的效果:学生的作业我也布置了同样的一道题,满以为效果会很不错,正确率虽有一定提高(正确率35.6%),却还是不理想.具体如下: 教后反思 虽然这次在新课和一轮复习时都把这个知识讲清楚了,学生也在老师精心设置的问题引导下,认识到了知识的本质,但由于知识本身有一定的难度和深度,教师的启发式讲解虽层层递进、逻辑严密,却显得平淡而常规,学生的思维活动虽然到达,却不够深刻,尤其是对于“虽然等价却不是最简”的体会仅限于知道而未形成能力,更谈不上在充分掌握的基础上迁移应用了. 3 追求“四主”的数学课堂教学 毫无疑问,积极主动的学习状况下,学生的潜力更能得到充分发挥,能够更好地获得知识,具有更高的学习效率.笔者以为数学课堂应追求“四主”,即 “主动参与数学活动、主动发展高级数学思维、主动感悟数学文化、主动积累数学思考的经验”.这样的数学教学需要教师通过巧设合理的数学情景,激发学生自觉地参与到数学活动中,积极思考、主动感悟、有效积累,高效地获取数学知识.既然如此,如何激发就成为了教学成功与否的关键.笔者在反思的基础上,基于如何激发学生“四主”的前提下,对前面文中的教学重新设计,取得了不错的教学效果,现将教学过程记录如下(高2018级): 案例 一个绝对值不等式的推广 环节1 设置巧合,激发学生主动探究 师:上堂课我们学习了绝对值不等式的解法,谁能告诉我下列不等式的解集吗? (1)|3x-1|<-1;(2)|-2x|>1;(3)|x-1|<0;(4)|2x|>-2. 问题1 不等式|x|>a和|x| 生:“|x|>a”的解集有三类:①a>0时,不等式的解集为{xx>a或x<-a};②a=0时,不等式的解集为{xx≠0};③a<0时,不等式的解集为R,同样,“|x| 师:这样在a>0时就有以下两个等价式子: (1)|x|>a(a>0)x>a或x<-a;(2)|x|0)-a 学生纷纷点头,表示赞同. 追问1 解不等式3x-1>1-x,并把解答过程写在草稿纸上. (教师巡视,寻找到产生巧合的解答后利用希沃助手在一体机上进行展示) 解答1 略.(分x>1、x<1、x=1三种情况讨论得解集为{x|x>12或x<0}) 解答2 略.(分x≥13、x<13两种情况讨论得 解集为{x|x>12或x<0}) 解答3 不等式等价于3x-1>1-x或3x-1 所以解集{x|x>12或x<0}. 师:这三种解答答案,它们的过程都是对的吗? 生1:解答1、2都沒问题,3错了. 师:为什么呢? 生1:不是“|x|>a(a>0)x>a或x<-a”需要a>0吗? 师:也就是解答3是认为“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”算出了同样的答案,难道只是巧合…… 生1:不会可以推广吧? 师:要不咱们再来算一个2x-1>2-x,1~5组用解答1的方法,6~9组用解答3的方法. 生:答案一样啊,应该是必然.(很惊喜自己的发现) 师:有谁可以告诉我为啥吗? 生2: a=0时,|x|>a是{xx≠0},x>a或x<-a也是{xx≠0}啊; a<0时,等价符号两边也都是R. 师:你的发现很有价值,“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”仍然是成立的,解答三也是正确的,也就是 “f(x)>g(x)”与“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”是等价的,这为我们解决这样的不等式带来了方便. 设计意图 在复习已有知识的基础上,在学生对知识的记忆还不是很到位时,利用学生未正确使用所学知识解不等式“3x-1>1-x”时产生答案上的巧合,制造悬疑“巧合还是必然”,使知识呈现出明显的悬而未决的状态,瞬间激起了学生探究的欲望,从而达到促使学生主动参与、主动思考的目的,使得等价不等式被学生轻松地予以推广. 环节2 制造矛盾,激发学生主动深入 例2 解下列不等式 (1)3x-1 对于(3),部分学生会因为利用推广轻松解答(1)(2)产生的思维惯性而犯错,而部分学生因为对推广前的分类讨论很熟练而得到正确的答案,教师即时将两种解答展示在希沃一体机上. 解答1 由于x-1>a2-ax-1>a2-a或x-1 所以原不等式的解集是x∈(a2-a+1,+∞)∪(-∞,a-a2+1). 解答2 按a2-a与0的关系分三种情况讨论,结果如下: ①a>1或a<0时,不等式的解集是x∈(a2-a+1,+∞)∪(-∞,a-a2+1);②a=0或a=1时,不等式的解集为 {xx≠1};③0 师:这是什么状况(故作神秘状),刚才不是说用两种方法解3x-1>1-x都可以吗?这儿为啥答案会不一样呢?“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”不是正确的吗?