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年号数2020是数字和变换下的黑洞数吗

2020-06-05王凯成

中学数学杂志(高中版) 2020年3期
关键词:专家库正整数数位

文[1]证明了“2019是数字和乘168后再加上3变换下的黑洞数”,那么年号数2020还是数字和变换下的黑洞数吗?本文予以探讨.

设A是一个正整数,把A的所有数位上数字的和(以下简称“A的数字和”)乘9后再加上1984,得到B.我們把从A到B的过程叫作A的f变换,记作f(A)=B.对B继续作f变换,得到f(B)=C;对C继续作f变换,……,那么,A经过有限次f变换后有什么结果呢?

定义 f1(A)=f(A),f2(A)=f(f1(A)), f3(A)=f(f2(A)),…,fk+1(A)=f(fk(A)).

f1(1)=f(1)=1×9+1984=1993,f2(1)=f(f1(1))=f(1993)=22×9+1984=2182,f3(1) =f(f2(1))=f(2182)=13×9+1984=2101,f4(1)=f(f3(1))=f(2101)=4×9+1984=2020,f5(1)=f(f4(1))=f(2020)=4×9+1984=2020.

f1(2)=f(2)=2×9+1984=2002,f2(2)=f(f1(2))=f(2002)=4×9+1984=2020.

f1(3)=f(3)=3×9+1984=2011,f2(3)=f(f1(3))=f(2011)=4×9+1984=2020.

猜想 对于任意正整数A,A经过有限次f变换后最终为2020.

证明 设ai∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0},用A=a1a2…an=∑ni=1ai×10n-i表示由a1、a2、…、an组成n位正整数(以下同).

那么A-f(A)=∑ni=1ai×10n-i-9∑ni=1ai+1984=∑ni=1ai×(10n-i-9)-1984.

当A>9999时, A-f(A)=∑n-5i=1ai×(10n-i-9)+9991an-4+991n-3+91an-2+an-1-8an-1984≥9991-8×9-1984=7935.

所以当A>9999时A-f (A)≥7935.

(1)一一验证,当1≤A≤9999时,A经过有限次f变换后最终为2020.

当1≤A≤9999时,1≤A的数字和≤9+9+9+9=36,由f (A)=9∑ni=1ai+1984知,B的可能值为:9k+1984(k=1、2、3、…、36).B≤9×36+1984=2308,B的数字和<2+9+9+9=29,由B=9k+1984知B除以9的余数是4,可知B的数字和除以9的余数也是4,小于29且除以9的余数是4的数只有4、13、22,B的数字和为4、13、22,所以C=9×k+1984(k=4、13、22).

当k=4时,C=9×4+1984=2020;

当k=13时,C=9×13+1984=2101,f(2101)=9×4+1984=2020;

当k=22时,C=9×22+1984=2182,f(2182)=9×13+1984=2101,f(2101)=9×4+1984=2020.

可见,当1≤A≤9999时,A经过有限次f变换后最终为2020.

(2)推证当A>9999时,A经过有限次f变换后最终为2020.

由“当A>9999时A-f (A)≥7935”知:如果fk(A)>9999时,则fk(A)-fk+1(A)≥7935.

如果f1(A)=f(A)≤9999,由(1)的一一验证可知,经过有限次f变换后得到2020;如果f1(A)>9999,那么对f1(A)继续作f变换得到f2(A).f2(A)

如果f2(A)≤9999,由(1)的一一验证可知,f2(A)经过有限次f变换后得到2020;如果f2(A)>9999,那么对f2(A)继续作f变换得到f3(A).f3(A)

……

如果fk(A)≤9999,由(1)的一一验证可知,fk(A)经过有限次f变换后得到2020;如果fk(A)>9999,那么对fk(A)继续作f变换得到fk+1(A).fk+1(A)

A=a1a2…an是一个给定的A>9999的整数,fk+1(A)<fk(A)<…<f3(A)<f2(A)<f1(A)<A,如果fj(A)>9999,则fj(A)-fj+1(A)≥7935,可见A作有限次f变换总能使fk+1(A)≤9999,由(1)的一一验证可知,A经过有限次f变换后得到2020.

可见,当A>9999时,A经过有限次f变换后得到2020.

由(1)及(2)知,对于任意正整数A,A经过有限次f变换后最终为2020.

由此,我们得到一个真命题:

命题 设A是一个正整数,把A的数字和乘以9后再加上1984,得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换,记作f (A)=B.对B继续作f变换,得到f(B)=C;对C继续作f变换,……,那么,A经过有限次f变换后最终为2020.

2020是所有数位上数字的和乘9后再加上1984变换下的黑洞数.

年号数2021、2022、2023、…等还是数字和变换下的黑洞数吗?笔者对2020到2049这30个数经过观察特例、归纳猜想、推理证明得到:

2020+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1984+k变换下的黑洞数.2021+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1976+k变换下的黑洞数.

2022+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1968+k变换下的黑洞数.

2023+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1960+k变换下的黑洞数.

2024+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1952+k变换下的黑洞数.

2025+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1944+k变换下的黑洞数.

2026+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1936+k变换下的黑洞数.

2027+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1928+k变换下的黑洞数.

2028+10k(k=0、1、2)是所有数位上数字的和乘9后再加上1920+k变换下的黑洞数.

2029+10k(k=0、1)是所有数位上数字的和乘6后再加上1951+4k变换下的黑洞数.

2049是所有数位上数字的和乘135后再加上24变换下的黑洞数.

参考文献

[1] 王凯成.有趣的2019[J].中学数学教学参考(初中版),2019(12):47-48.

[2] 王凯成.数字和变换下的黑洞数探秘[J].中学数学教学参考(高中版),2018(5):69-70.

[3] 王凯成.数字和乘以99变换下的黑洞数及猜想[J].中学数学杂志,2018(9):61-62.

[4] 王凯成.数字和变换下的黑洞数再探[J].中学数学教学参考(高中版),2018(11):63-64.

作者简介

王凯成(笔名王凯),陕西师范大学数学系七七级,教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会常务理事,第六届中国幻方研究协会普及教育部副部长,陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会、陕西省首批中小学教师培训评估专家库成员,在省级及以上刊物发表论文188篇.近年被全国多所师范院校邀请给小学数学国培班作专题讲座.

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