【摘 要】 数学教学要在核心素养指导、引领下实现学科育人根本任务.在“方程的根与函数的零点”教学设计中，聚焦数学核心素养，通过创设真实的问题情境、设置三个学习任务、设计课堂提问和学习活动等手段帮助学生开展探究活动，凸显了概念形成过程，实现了方程的根与函数的零点知识对学生学科核心素养发展的价值.

【关键词】 数学学科核心素养;教学设计;方程的根;函數的零点

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017年版）》）指出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现[1].在教材编写、教学实践和学业评价中，如何处理数学知识与核心素养的关系，达成两者的有机融合，是实现课程目标的关键[2].《课标（2017年版）》在“实施建议”中提出的五条“教学建议”为教师开展以发展学生数学学科核心素养为导向的教学设计研究指明了方向：教学目标制定要突出数学学科核心素养;情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养;整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展;既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习;重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合[1].教学中，如何根据上述要求进行教学设计？笔者以人教A版数学必修1课程中“方程的根与函数的零点”[3]为例阐述相应的教学设计与实践.

1 数学核心素养导向的教学设计思路

如图1所示，结合章建跃先生提出的“三个理解”，数学核心素养导向的教学设计可以按照如下的思路展开：首先，分析《课标（2017年版）》的要求和教材编写意图，挖掘教学内容对培育学生数学核心素养的价值，旨在使教师理解数学知识的本质，了解新授知识在数学系统中的来龙去脉;其次，分析学生已有的认知经验，围绕学科素养目标设计多个学习任务并确定课时目标，学习任务的设计本质上是在将知识和认识思路结构化，展现知识和思维发生发展的双过程[2];第三，围绕学习任务和课时目标创设情境设计问题，设计课堂提问和学习活动.设问是引导学生独立思考，展现思维过程的重要手段[2].通过元认知提问引导学生进行反思，教师的提问应“问过程”，而非“问结果”，要“问思考”，而非“问知识”;学生的“说”，不是“乱说”，而是在教师引导下进行有效的思辨后，结合自己的经验、思考，独立提出观点.

1.1 挖掘教学内容对学生数学核心素养发展的价值

数学核心素养的发展需要深度运用教育基本原理，深刻揭示教与学的关系、深刻领悟数学教学的本质不是知识符号的教学而是知识内在的逻辑形式和意义领域[4].数学教科书是数学教学的主要依据，是学生数学学习的核心资源.基于“理解数学”，把握数学知识的意蕴和本源，以数学知识为载体，以数学概念的内在逻辑为线索，设计符合学生认知规律的数学活动，在问题解决的过程中形成思维能力和创新精神，从而实现核心素养的发展目标[5].在“方程的根与函数的零点”教学中，基于知识的发生发展，思考以下本源性问题，有助于学生通过课堂学习实现对知识的从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，对学生数学思维发展具有重要意义.

1.1.1 函数零点概念是怎么提出的

思考这一问题，有助于了解研究对象的背景.教材与实际相联系一般从生活相联系和与数学相联系两个方面解释学习新知的必要性[6].“理解数学”是教好数学的前提（章建跃语）.从学生学习角度看，核心概念是一个“纲”，纲举目张，是一个“组织者”.在教学中，教师要了解知识产生的合理性和必然性，让学生知道学习该概念的必要性和重要性.教材第87页指出：“二次函数的图象与x轴交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形.为此，先给出函数零点的概念”[3].这就表明，从数学背景来看，函数零点是基于学生已经学习的函数的图象与x轴交点和方程的根这一数学内部的联系而提出的，学习任务在学生思维的最近发展区内.教学时应将函数零点概念的背景展现出来，让概念自然呼出，引导学生体会知识的自然发展过程.

1.1.2 函数零点概念是怎么构建的

思考这一问题，有助于认识研究对象是如何获得的.做研究，研究对象、研究内容、所有的关键词都要有明确的定义[7].教材第86页首先给出思考问题：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有什么关系？”[3]紧接着提出研究思路：“先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数”[3].教学时引导学生通过探究，会用函数图象与x轴的交点解释方程根的意义，感受函数零点概念产生的自然性和必要性;结合二次函数的图象与x轴交点的个数，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，使方程的根与函数的零点的关系自然地凸显，从而抽象出函数零点概念，并且可以开始进行下一步的学习.

1.1.3 函数与方程之间是怎样联系的

思考这一问题，有助于了解数学对象的发展（如何发挥作用的）以及函数零点概念下的数学思想.函数是中学数学的核心概念，是贯穿高中数学课程的主线.一个重要的原因就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同角度将数与形、函数与方程等有机地联系在一起，这是数学知识的联系性与整体性的体现，有利于学生学习迁移的发生，从整体上把握数学，构建一个具有强大思维功能的知识体系，从中感受到对立统一、化归与转化的思想，能用相互联系的观点辩证地看问题，培养他们数学地分析问题的意识.

1.1.4 为什么采用这样的方法

思考这一问题，有助于发展学科一般观念，实现教学目标的全面落实.教师通过教学揭示函数零点的背景、构建函数零点概念、探究函数零点存在定理以及函数零点的应用，把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，孕育学科一般观念，帮助学生奠定研究数学概念的一种基本方法，让学生亲身体验数学发现和创造的过程，在“学会”的同时，逐步做到“会学”，进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法，最终形成一个研究数学问题的思维体系，培养和提升创新能力.1.2 教学目标

（1）结合一次函数、二次函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.

（2）观察具体函数图象在零点附近的函数值变化情况，发现并概括出函数零点存在的条件，探究得出“零点存在定理”.

（3）通过“零点存在定理”的探究，让学生体验特殊到一般、数形结合、函数与方程等数学思想方法.

1.3 设计学习任务，整体把握教学内容

学习任务是连接核心知识与具体知识点的桥梁和纽带，是实现知识结构化的重要环节[8].基于教学内容发展价值分析的研究，本节课的三个核心任务是“怎样判断方程是否有实根？有几个实根？”“方程的根与函数的零点的关系是什么？”“怎样判断函数零点的存在性？”.“学习任务1”为观察、探究创设情境，重在引发认知冲突，充分激活学生思维，为积累更多的经验提供宝贵的思维空间;“学习任务2”引导学生结合函数图象，了解函数零点与方程的根的关系，重在构建函数零点概念;“学习任务3”突出通过直观引导学生开启想象之门，结合具体函数及其图象的特点，能用代数运算和函数图象表征函数零点存在的充分条件，“发现”函数零点存在定理.

1.4 创设合适的问题情境

合适的问题情境有助于引发学生思考与交流，形成和发展数学核心素养，也为学生数学核心素养提供了真实的表现机会.教师提问的质量決定了教学的质量，而问题的质量主要体现在“启发度”的把握上[9].启发度可以从两个方面衡量：是否反映数学本质和是否在学生思维最近发展区内.教学中通过在数学对象发生发展的关节点上提出问题，不仅能够激发学生探究兴趣，使“知识的发生发展”成为学生自己主动思维的结果，更关键的是其具有丰富的素养发展价值，能够引导学生的直观想象、抽象、概括、比较、归纳、分析、综合[2].

2 教学策略

概念教学强调追本溯源，前后联系、逻辑连贯的概念形成过程.依据数学知识的内在逻辑和学生的认知规律，函数零点概念的教学可以采用概念形成教学.在学习素材上，选取“求方程的根”和“画函数图象”活动，引导学生抽象建模，通过“从图象上看”，抽象出方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标这一“本质”属性（数形结合地思考问题），从而建立新的认知结构（三个“等价关系”），既增加了函数零点这个“新知”，又学会了确定函数零点的相关技能（求方程的根或函数零点的三种方法——通过求解方程解出来，通过画函数图象画出来，利用零点存在性定理进行判断），更重要的是，积累了数学建模的经验，经历了数形结合和对应思想的体验过程，使抽象建模素养得到了发展.零点存在性定理体现了数形结合的思想，教学中应让学生充分经历由图形连续变化的趋势来判断零点的存在与否过程，体会和感悟函数与方程之间的关系，以及化归与转化的思想，体会函数性质在研究函数问题中的作用.

从数学知识的发生发展过程认识核心素养，抓住本源性问题，设计数学教学活动，赋予学生更多的思考、动手、动脑和交流的机会，让学生在活动中经历概念的形成过程和应用过程，有助于体现数学的思维方式，促进学生理性思维的发展，发挥一般观念的引领作用.3 教学过程

3.1 创设情境，激发兴趣

问题1 判断下列方程是否有根？若有，有几个根？

（1）3x-2=0;

（2）x²-2x-3=0;

（3）lnx+2x-6=0.

设计意图 （1）（2）中的方程可以直接求解，（3）中的方程不能直接求解，引发学生产生疑问，激发学生学习兴趣和探究热情，通过后继学习，进一步领会将方程问题转化为函数问题处理的必要性.

3.2 问题探究，建构概念

问题2 画出函数f（x）=3x-2的图象，观察方程3x-2=0的根与函数f（x）=3x-2的图象和x轴的交点，你有什么发现？

设计意图 通过简单函数“引”零点，在学生困顿之处用问题点明想法的源头和实施方法，旨在以学引思.正如著名数学家华罗庚所言：“要善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的诀窍.”

追问1 问题2中，你是怎么看2/3的？

设计意图 通过代数运算和函数图象揭示2/3的“双重身份”——既是方程3x-2=0的根，也是函数f（x）=3x-2的图象与x轴交点的横坐标，初步感知方程与函数的联系，“使新知识与原有知识形成联系”.问题3 完成下表，观察方程的根与函数图象和x轴的交点，有什么发现？

设计意图 通过函数图象，直观感受方程的根与函数图象和x轴交点的横坐标之间的关系，进一步体会方程与函数的内在联系.

问题4 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有什么关系？问题5 上述关系能否推广到一般情形？

师（总结）：我们把问题推广到一般情形，函数图象与x轴交点的横坐标就是相应的方程的根，就是函数的零点.

设计意图 问题4和问题5关注“表明想法”和“明确道理”[2]，引导思维发展方向和深度理解，让学生充分应用直观想象、观察分析、抽象概括等思维方式，构建函数零点的概念，使新知识与原有知识形成联系，凸显了概念的形成过程，体现了从特殊到一般、从简单到复杂、从感性到理性的思维过程.

3.3 质疑思辨，完善概念

问题6 由函数零点概念，你认为“方程f（x）=0有实数根”“函数y=f（x）的图象与x轴有交点”“函数y=f（x）有零点”之间有什么关系？

设计意图 引导学生明确求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.如果方程f（x）=0不能用公式法求根，就可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.让学生在对比与联系中理解数学，进一步让函数与方程的内在联系自然地凸显出来，利用这种联系可以更好地解决相关问题.

问题7 回看问题1中的方程lnx+2x-6=0，你能判断这个方程是否有实数根？

生：“方程lnx+2x-6=0是否有实数根”可以转化为判断“函数f（x）=lnx+2x-6是否有零点”.

追问2 怎样判断函数f（x）=lnx+2x-6是否有零点？

设计意图 引导学生用函数研究方程的问题，让思路和方法自然地暴露.用函数观点研究方程，本质上是将局部问题放在整体中研究，将静态结果放在动态中考察.

问题8 观察二次函数f（x）=x2-2x-3的图象，发现函数在区间[-2，1]上有零点.计算f（-2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]是否也具有这种特点呢？

追问3 函数f（x）=x2-2x-3在零点-1和3的附近函数值的变化有什么共同点？

设计意图 通过观察和分析（一是观察和分析函数图象变化特点，二是观察和分析数据）、计算和比较，得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间的关系，引导学生把零点附近函数值的变化情况用数学符号语言表达出来（把“图象特征”转化为“代数表示”），并对所得结果进行辨析，逐步完善函数零点存在的条件，在交流、辨析中构建函数零点存在定理（在具体的例子中抽象概括出共同的本质特征，得到一般性的结论）.

问题9 判断下列说法是否正确，如果不正确，请举出反例.

（1）若函数y=f（x）在区间[a，b]满足f（a）f（b）<0，则y=f（x）在区间（a，b）内一定有零点;

（2）若函数y=f（x）在区间（a，b）内一定有零点，则f（a）f（b）<0;

（3）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）f（b）<0，則y=f（x）在区间（a，b）内一定存在零点;

（4）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）f（b）<0，则y=f（x）在区间（a，b）内有唯一零点.

设计意图 通过举例辨析进一步理解函数零点存在定理，教师通过提问等方式让学生多举些例子以加深认识.

问题10 若函数f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）·f（b）<0，那么函数f（x）在（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是f（x）=0的根.那么“函数f（x）在（a，b）内有零点”，你能确定f（x）有多少个零点吗？[10]

生：不能确定，但至少有一个！

追问4 你能不能画图说明满足条件的函数f（x）在区间（a，b）内恰有一个，两个，三个，…，无数个零点的情形？

设计意图   合适的情境和问题是学生思维爬升的台阶，以“恰时恰点”的问题引导学生参与学习过程，参与发现，就能点燃学生的热情，培养学生的创新能力[10].

3.4 数学应用，巩固理解

例1 判断函数f（x）=lnx+2x-6是否有零点？

（学生尝试用函数零点存在定理进行解答，教师巡视，及时掌握学生的情况.）

师 （用几何画板画出f（x）=lnx+2x-6的图象）从函数图象上看f（x）只有一个零点，这个结论正确吗？怎么说明？

设计意图 引导学生借助计算机或计算器画函数的图象，探索判断函数零点存在的方法.结合函数图象对函数恰有一个零点形成直观认识，进一步引导学生结合函数的单调性证明函数零点的唯一性，突出数学的逻辑严密性和方法的简洁美妙.形成“图形判断——直观，性质判断——严谨”的辩证思维.

追问5 你能将函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在区间的范围尽量缩小吗？

设计意图 在数学对象发展的关节点上提出问题，为后继学习“用二分法求方程的近似解”打下伏笔，使学生的整个学习过程形成一个有机的整体.

练习 判断下列方程是否有根？有的话，有几个？

（1）x⁵-3x+1=0;（2）e^x-1+4x-4=0.

设计意图 理解巩固方程与函数的关系，进一步体会数形结合思想的应用.

3.5 课堂回归，总结提高

（1）这节课我们学习了哪些知识？（2）这些知识能解决什么问题？

3.6 作业布置，巩固发展

（1）课本88页：练习1（1）、（4），2（2）、（4）;

（2）研究性作业：画出本节课你理解中的知识树.

4 结束语

数学核心素养导向的概念课的教学研究要从整体上把握概念，突出概念之间的相互联系，注重本质，精心设计好思维的导航图和生长链，从微观上把握好概念获取的生长路径和关键节点[11].关于“方程的根与函数的零点”的教学设计，构建函数零点概念可谓“双管齐下”：第一，通过函数图象观察并通过计算获得确认，这是“赋形以数”;第二，通过探究方程的根与函数零点之间的关系，让学生经历“为数配形”的过程，让函数零点的本质自然地揭示，发展了直观想象等数学核心素养.在零点存在定理的探究中，让学生经历观察函数图象、探索图形特征、抽象辨析结论这一过程，强调的是一种数学观念，突出的是一种数学直觉，培养的是理性思维能力，展现的是一种内在素质和综合能力.学生积极地参与到教学活动中，在思考和交流的过程中掌握知识技能、感悟数学本质，使知识和思维的发生发展过程自然地推进，自然地构建函数零点概念网络体系.上述教学设计和实践实现了方程的根与函数的零点知识对学生学科核心素养发展的价值.这一学习过程也符合对事物的认知过程：从感性到理性、从定性到定量、从具体到抽象、从方法到观念、从工具到模型等[12].

参考文献

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[12] 沈良.几何学习的四个层级[J].中学数学月刊，2019（10）：3-5.

作者简介

林运来（1975—），男，高级教师，中国数学会奥林匹克高级教练，福建省十三五中学学科教学带头人培养对象，研究方向：中学数学教学.