贾金平，梁茂林，冉延平

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

近年来，非线性系统的跟踪控制问题已经成为控制领域中一个重要的研究课题，该问题在机器人控制、无人机控制、自动驾驶以及导弹制导等诸多领域中得到了广泛关注和应用，许多学者对该问题的研究取得了大量有意义的结果.[1-2]但现有研究成果大多是针对具有连续时间控制信号的连续时间控制系统进行的.在实际的控制过程中，系统的控制器大多要进行数字化的执行.由于传感器、执行器以及检测器等元件之间存在着大量的信息传递，为了减少系统的通讯量和计算量，研究非线性采样跟踪系统就显得非常重要.众所周知，采样系统理论作为计算机控制技术的理论基础，一直都是自动化控制领域的研究热点.[3]在采样系统中，控制器在每个采样时刻决定从现在到下一采样时刻的控制量，这相当于在相邻两个采样时刻之间系统处于开环状态.如何为给定的连续时间系统设计采样控制器是采样系统理论的一个核心问题.传统的Emula⁃tion控制器[4]和基于近似模型的设计方法[5]虽然都有各自的优点，但研究表明，由于在设计过程中，前者忽视了采样对系统性能的影响，后者忽略了系统的内采样动态，导致两种方法都不能设计出理想的采样控制器.[6]本文针对一类具有级联结构的高阶非线性跟踪系统，应用控制理论中的加幂积分器[7]和Lie代数方法[8]提出了一种保证被控系统的状态能够渐进跟踪参考信号的多率采样控制方案.与传统的Emulation控制器相比，该控制方案能够有效增大系统最大的可允许采样周期，对减少系统信号在网络化传递过程中所占的带宽具有重要的意义.

1 问题描述

在文献[9]中，作者针对如下具有奇数次幂积分链形式的高阶非线性系统（1），研究了通过光滑状态反馈实现输出跟踪的问题，即寻找一个光滑的状态反馈控制器使得被控系统的输出能够渐进跟踪给定的参考信号.

这里x=(x1,x2,…,xn)是系统状态，u和y分别表示系统的输入和输出，pi,i=1,2,…,n是正的奇整数.ϕi,i=1,2,…,n是状态x的光滑函数且ϕi(0)=0.文献[9]的研究结果表明，在假设条件下：ϕi(∙)=0且对任意的i=1,2,…,n，有

这里ρi(∙)是非负光滑函数，能够通过光滑的状态反馈使得系统（1）的输出全局渐进跟踪上任何的常值参考信号.

然而，当参考信号是一条有界光滑的动态轨迹时，系统（1）的跟踪控制问题是一个比较复杂和困难的问题.本文在文献[9]的基础上，考虑系统（1）的采样跟踪控制问题，即如何设计一个采样控制器使得闭环系统的输出能够渐进跟踪一个有界光滑的参考信号.为了简化问题的难度，我们考虑如下二维的高阶非线性系统

被跟踪的参考信号是下面非线性动态系统的状态轨迹

小学语文阅读教学中切入点的选择是小学语文教师引导学生剖析、学习一篇文章的着眼点，是阅读教学的起始点。在阅读教学中，教师选择一个恰当合理的切入点，就是选择了文章的突破口，让学生能够举重若轻地把握文章，产生浓厚的学习兴趣和思维的火花。

这里p是正奇数，用δ表示系统的采样周期，我们的目标是为系统（3）设计一个采样控制器，使得闭环系统的状态能够渐进跟踪上系统（4）的状态轨迹，并且在较大采样周期的情况下，能够实现比传统Emulation控制器好的控制效果.

引理1.1[8]考虑系统（1），假设p1≥p2≥…≥pn，且对任意的i=1,2,…,n，有（2）式成立，则存在M＞0和一个多率采样控制器uk=(u1k,u2k,…,unk)，其中

跨境电商已经成为国际贸易的重要组成部分。但目前缺乏从事跨境电商所需的复合型人才，行业人才缺口巨大。所以在《国际结算》课程教学中，理应将传统的教学内容与跨境电子支付教学内容相结合，使学生及时了解外贸发展的新态势，掌握外贸结算的新做法，努力成为适应我国外贸升级的复合型人才。

证明令e1=x1-r1,e2=x2-r2，则

2 主要结果

对系统（6），选取Lyapunov函数

注意到，控制器中的系数aikj可通过求解一个代数方程组得到.记,用表示uk的r阶截断，称其为r阶近似多率控制器.显然，当r=0时，就是传统的Emulation控制器.

设计连续控制

使得对任意的δ∈[0,M)，采样闭环系统的平衡点x=0是全局渐进稳定的.

我今年65岁，患有膝关节炎数年，天气不好的时候偶尔会疼痛。今年5月开始疼痛频繁，医生建议做全膝关节置换手术，请问是否有微创手术代替，效果怎么样？

不忘初心，方得始终。衷心祝愿淮海人不忘初心，牢记使命，大力弘扬人民兵工红色基因，实现“一切为了前线，一切为了打赢”的企业价值观，继续在太行精彩铸剑，为保家卫国作贡献！

定理2.1存在一个多率采样控制器使得系统（3）的状态轨迹能够全局渐进跟踪系统（4）的状态轨迹.

对e1子系统，选取Lyapunov函数，则，设计虚拟控制器使得.令η1=e1,，则系统（5）可被等价的转换为

五、投喂管理。苗种投放后第二天便可投饵，将饵料投放在食台上，开始少投，吸引甲鱼前来摄食，每天投喂2次，上午8-9时，下午5-6时，投饵量为甲鱼总重2%～3%，每天观察甲鱼的摄食情况，适时调整投饵量，在制作饵料时可加入3%左右植物油，既可增强甲鱼的食欲，又可提高饵料中蛋白质的利用率。

使得系统（1）的状态轨迹能够全局渐进跟踪系统（2）的状态轨迹，其中假设，通过解代数方程，i=1,2，得到系数aikj，这里xk和分别表示在采样控制器（8）和连续控制器（7）下闭环系统（3）的状态在时刻t=kδ的值.

2017年，中国创投总量持续增长，继续保持全球仅次于美国市场的发展规模[2]。从机构数量而言，活跃的创投机构数达到2 296家，较上年增长12.3%。其中，创业投资基金1 589家，增幅11.8%；创业投资管理机构707家，增幅13.3%（见图1）。

下面分析采样控制器（8）的控制性能.因为该控制器具有幂级数形式，所以在实际应用时，只能通过截断得到它的某个近似形式的解.用表示（9）的r阶近似控制器，这里计算1阶近似控制器如下：

下面通过MATLAB软件对近似控制器（9）的控制性能进行模拟.取x1(0)=2.5，x2(0)=-2，δ=0.12s，p=3，同时用EM表示Emulaton控制器，RS表示参考信号的轨迹，DR1表示1阶近似的采样控制器（9）.图1描述了闭环采样系统的跟踪轨迹，结果表明当采样周期较大时，在本文所设计的采样控制器下，系统的跟踪效果要比在传统的Emulation控制器下的跟踪效果好得多.图2描述了采样周期为0.12s时，EM和DR1的动态轨迹.

图1 跟踪系统的相位图

图2 采样控制器

3 结论

讨论了一类高阶非线性系统的采样跟踪控制问题.结合控制理论中的加幂积分器设计方法和Lie代数方法提出了一种采样跟踪控制方案.和现有的方法相比，该控制方案能够在一个采样周期上，通过增加实际的控制次数来提高闭环控制系统的性能.然而，由于控制器具有幂级数的形式，一般情况下不容易求出其精确形式的解.所以在实际应用中，只能使用所提控制方案的近似形式.通过MATLAB软件对1阶近似控制器进行了仿真.仿真实验的结果表明，在采样周期较大的情况下，本文所提出的控制方案比Emulation控制器明显具有更好的控制性能.