上海市复兴高级中学 (200434) 方长林

1.试题呈现

此题是笔者学校高三10月份月考一道试题，构思精巧，但难度较大，得分率极低.少数学生利用基本不等式的方法求出一个错误的答案1，大部分学生对此题似曾相识，但苦苦思索终不知解题的突破口在哪，找不到恰当的解题方法.

2.解法探究

2.1 似曾相识燕归来——定式思维，困于基本不等式

2.2 曲径通幽寻思路——善于联想，构造向量促转化

突破定式，转换解题思路，换一个角度联想.题目的条件“a1,a2,a3,a4∈R，且a1a4-a2a3=1”与三角形一种类型的面积公式很相似“在△OAB中，设O(0,0),A(a1,a2),B(a3,a4),则S△ABC=

2.3 柳暗花明又一村——发散思维，三角代换显神奇

联想到面积公式、构造向量的方法对大多数学生来说有些难度，毕竟行列式形式的面积公式不大常用.还有什么方法比较自然一点呢？四个变量能否代换消元？尝试一下对题目条件“a1,a2,a3,a4∈R，且a1a4-a2a3=1”实施三角换元，则可以将目标代数式直接转化为三角函数求最值问题，方便简洁.

方法二：设a1=λcosα,a2=λsinα,a3=μcosβ,a4=μsinβ,∴a1a4-a2a3=λμcosαsinβ-

数学解题就是要观察问题的本质，寻求解题的途径，类比联想推理，探索求解的捷径.解题中鼓励学生尝试多角度观察问题、多角度思考问题，训练一题多解、一题多思，不仅可以提高学生的解题能力，改善学生的思维品质，还可以提升数学的核心素养.