江苏省张家港外国语学校 (215600) 何 威

“问题是数学的心脏”，尤其在高三复习课中，解题教学是不可忽视的一环.在各类模拟卷中，很多类似的题目会反复出现，有时却难以取得良好的教学效果，出现“听得懂、不会做”的现象.有时教师会出现根据已有的经验处理问题，忽略学生真正的困难，导致课堂演变成一言堂.问题年年相似，学生年年不同，解题教学的实效如何，关键在于了解学生的思维困难，是策略选择的问题还是细节处理不当？教师站在学生的角度看问题，分析疑难所在，在学生的能力成长点上着力，并总结、品味解题经验.

下面笔者以学生遇到的细节疑难为例，谈一谈自己的思考，与大家交流.

一、试题呈现

二、过程释疑

师：这道题做的不甚理想，同时也是一道很有价值的题目，请大家说说自己的想法.

师：是个很好的角度，这里的换元转化等价吗？a,b∈R+如何体现呢？

师：这里的φ是变量吗？

图1

生3：我根据齐次式的特征，可以通过换元实现减元，化为一元函数问题.

师：非常好，除了观察次数这一角度，还有没有其他地方出现平方加平方这样的特征？

生4：我看它跟点到直线的距离公式比较接近，想构造试试看.

图2

师：抓住几何意义去看，几乎不用动笔算.看来思维的长度越长，解题的长度就越小啊.在形的结构下，还有出现平方式的地方吗？

图3

至此，笔者引导学生综合多种解法，端点的取舍关键在于变量范围的跟踪与传递.而式子的结构特点是决定公式选取的关键，例如齐次式是换元、减元的信号.

变式练习：(2019江苏高考热身AB卷)已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1，则3xy+yz的最大值为.

三、教学启示

1.解题教学需要引导学生识别问题，促进方法联想的有效性

高三教学虽是以复习为主，但学生只具备了基础知识，在变化的问题情景中综合能力还有待提高.关键在于对问题特征的细化分析，即已知是什么，未知是什么？你能从中联想到什么？善于解题的人，要多观察问题中出现的结构特征，比如定义、定理、公式的“型”，从整体上、本质上感知这些数学元素“长什么样子”，这是进行合理联想的基础.引导学生将现有的问题与已有的某些知识进行对比，从共性中提炼本质，区分核心主干与细枝末节，让学生真正识别问题，促进联想合理、自然、有效.

2.解题教学需要引导学生总结易错点，从细节处锻炼学生思维的严谨性

以该题为例，它的解法很多，主要用到了三角换元法、齐次式减元法、构造直线法、构造向量法、柯西不等式等.无论是采取哪种方法，实现问题的等价转化是成功的前提.学生们错误多写成(0,5],难点在于左端点的范围，主要是对已知条件a,b∈R+的忽略.如在三角换元法中，限定了角φ的范围，在构造直线法中，限定了直线l：2ax+by=0变动的区域等等.反思这些问题，有助于提升学生的解题经验，知道解题的切入点是什么，运算的细节难点如何突破.解题中一个小的细节不注意，常常导致“行百步者半九十”，这恰恰是学生真正发生的学习难点，所以应精心分析总结学生的易错点，舍得在教学上花时间，从而减少“反复讲反复错”的现象.

3.解题教学应注重发挥题目的内蕴功能，在数学审美中实现思想升华

德国教育家斯普朗格曾说：“教育的最终目的不是传授已有的东西，而是要把人的创造力诱导出来，将生命感、价值感唤醒.”一个题目解完，回过头再审视时，可以让学生谈谈收获，谈谈感觉最妙的地方，在平时纠错中形成反思、品评的习惯.教师在解题教学中，有意识的引导学生回顾解题的策略与方法，让学生产生新奇感、产生美感，激发学生的数学情感.在解决当前问题中对知识再梳理、再联通、再创造，实现从具体问题到一般问题的思辨，从方法技巧到数学思想的升华，激发学生学习数学以及追求真理的内在动力.