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比解题方法更重要的是数学本质*
——以一道模考题求解为例

2020-05-30江西省萍乡市湘东中学337016彭小奇

中学数学研究(江西) 2020年4期
关键词:通法代数本质

江西省萍乡市湘东中学 (337016) 彭小奇

近日学校组织的一次联考,理科数学第20题是一道解析几何题,涉及直线与圆、向量等内容.命题组提供的参考解答是解析几何的通法,但计算量较大,学生得分率较低.

一、试题重现

已知圆C过点(4,1),(0,1),(2,3),过P(-2,0)的直线l与圆C交于M,N两点.

(1)若圆C′:(x+2)2+(y-4)2=9,试判断圆C与圆C′的位置关系,并说明理由;

二、解法探究

常规解:(1)过程略,易得圆C:(x-2)2+(y-1)2=4,两圆相外切;

图1

三、教学感悟

一般地,学生在解题过程中用联立方程的通法陷于繁杂的计算,茫然不知所措,反映出解析几何解题教学中过于有重解题方法,轻数学本质现象.实际上,解析几何是用代数的方法研究几何问题,是数与形的统一.解决解几题首先应充分利用平面几何知识(如本例中解法4圆幂定理的运用,求圆中弦长运用弦心距,直线与圆锥曲线相交求弦长时,利用直线参数方程中参数和几何意义等);其次是运用代数、三角、向量等数学知识,这样才能相得益彰.总之,数形结合是解析几何的本质,图形直观是高考重点考查的核心素养.教学中只有注重数学本质,才能真正地提高学生分析问题和解决问题的能力.

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