■湖南省汨罗市一中

一、建立柱状模型，应用动量定理解题

例1（2016年高考全国Ⅰ卷）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向上水的速度变为零，在水平方向上朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：

（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量。

（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

解析

（1）在一段很短的时间Δt内，可认为喷出的水柱保持速度v0不变。这段时间内，喷出的水柱的高度Δl=v0·Δt，体积ΔV=Δl·S，质量Δm=ρ·ΔV，解得喷泉单位时间内喷出的水的质量为。

（2）由玩具受力平衡得F冲=Mg，其中F冲为水柱对玩具底面的作用力。由牛顿第三定律可知，玩具底面对水的反作用力F压=F冲。设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水柱到达玩具底面时的速度为v′，由运动学公式得。在一段很短的时间Δt内，冲击玩具底面的水柱的质量Δm=ρv0SΔt。由题意可知，在竖直方向上，对这部分水柱应用动量定理得（F压+Δm·g）Δt=Δm·v′。因为Δt很小，所以Δm·g也很小，可以忽略，则F压·Δt=Δm·v′，解得。

小结：求解“连续”质点系统发生持续作用，物体动量（其他量）连续发生变化类问题的思路是先正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量（其他量）发生变化的那部分物体作为研究对象；再建立“柱状模型”，即在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、长为v·Δt的柱体内，这部分质点的质量Δm=ρSvΔt，以这部分质量的质点系统为研究对象，研究它在Δt时间内的动量（其他量）的变化情况；然后根据动量定理（其他物理规律）求出相关物理量。

现学现练：如图1所示，静止在光滑水平面上的小车质量M=20kg。从水枪中喷出的水柱的横截面积S=10cm2，速度v=10m/s，水的密度ρ=1×103kg/m3。若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中。当有质量m=5kg的水进入小车时，试求：

（1）小车的速度大小。

（2）小车的加速度大小。

答案：（1）2m/s；（2）2.56m/s2。

提示：（1）流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，则mv=（M+m）v1，解得v1=2m/s。（2）质量为m的水流进小车后，在极短的时间Δt内，冲击小车的水的质量Δm=ρS（v-v1）Δt，设此时水对车的冲击力为F，则车对水的作用力为-F，由动量定理得-FΔt=Δmv1-Δmv，解得F=64N。由牛顿第二定律得F=（M+m）a，解得a=2.56m/s2。

二、经典碰撞，万变不离其宗

例2（2015年高考全国Ⅰ卷）如图2所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，物体A位于B、C之间。物体A的质量为m，物体B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使物体A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使物体A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性碰撞。

现学现练：A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，图3表示两物体发生碰撞前后的v-t图像，由图像可以判断（ ）。

A.两物体的质量之比为3：2

B.两物体碰撞前后总动量守恒

C.两物体碰撞前后总动量不守恒

D.两物体碰撞前后总动能不变

答案：ABD

提示：两物体碰撞前的速度分别为vA=6 m/s，vB=1 m/s，碰撞后的速度分别为vA′=2 m/s，vB′=7 m/s。两物体碰撞前后动量守恒，根据动量守恒定律得mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′，解得mA：mB=3：2，选项A、B正确，C错误。两物体碰撞前的总动能为，碰撞后的总动能为，因此两物体碰撞前后总动能不变，选项D正确。

三、多运动过程问题的综合分析

例3（2015年高考广东卷）如图4所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R=0.5m，物块A以速度v0=6m/s滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨道上P处静止的物块B碰撞，碰后两物块粘在一起运动，P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段长度都为L=0.1m，物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1，A、B两物块的质量均为m=1kg（取重力加速度g=10 m/s2；A、B两物块可视为质点，碰撞时间极短）。

（1）求物块A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F。

（2）若碰后A、B两物块最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值。

（3）求碰后A、B两物块滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度vn与n的关系式。

解析

小结：应用力学三大观点解题时应注意以下四个问题。（1）弄清有几个物体参与运动，并划分清楚各物体的运动过程。（2）进行正确的受力分析，明确各运动过程的特点。（3）若物体在光滑的平面或曲面上运动，或物体参与不计阻力的抛体运动，则机械能一定守恒；若是碰撞过程、子弹打击木块情景，以及不受其他外力作用的两物体相互作用问题，则一般考虑用动量守恒定律求解。（4）若是含摩擦生热问题，则考虑用能量守恒定律求解。

现学现练：如图5所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的光滑半圆形轨道，其半径R=0.1m，半圆形轨道的底端放置一个质量m=0.1kg的小球B，水平面上有一个质量M=0.3kg的小球A以初速度v0=4m/s向着小球B滑动，经过时间t=0.8s与小球B发生弹性碰撞。两小球均可以看成质点，碰撞时间极短，已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.25，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）两小球碰前小球A的速度。

（2）小球B运动到最高点C时对轨道的压力。

（3）小球A最终所停的位置到半圆形轨道最低点的距离。

答案：（1）2m/s；（2）大小为4N，方向竖直向上；（3）0.2m。

四、滑块—木板模型经典再现

例4如图6所示，在光滑的水平面上并排放着两个相同的木块，长度均为L=1 m，在左边木块的左端放一个小金属块，它的质量和一个木块的质量相等。现令金属块以初速度v0=2 m/s开始向右滑动，金属块与木块间的动摩擦因数μ=0.1。取重力加速度g=10m/s2，求右边木块的最后速度。

解析

若金属块最后停在左边的木块上，则两木块和金属块将以相同的速度运动。设三者最终的共同速度为v，金属块最后距左边木块左端的距离为x，则0＜x≤L。由动量守恒定律得mv0=3mv，由能量守恒定律得解得，说明金属块最后不能停在左边的木块上。设金属块最后停在右边的木块上距离左端为x处，则0＜x≤L。设两木块最终的速度分别为v1、v2（v1＜v2），金属块到达左边木块右端时的速度为v0′，由动量守恒定律得mv0=mv0′+2mv1，mv0=mv1+2mv2，由能量守恒定律得，说明金属块最后停在右边的木块上，且右边木块的最后速度。

小结：滑块—木板模型可分为两类，即单一滑块模型和多个滑块模型。求解单一滑块模型问题主要运用牛顿第二定律、动能定理或动量定理等进行分析。求解多个滑块模型问题应着重分析物体的运动过程，明确它们之间的时间、空间关系，并注意临界、隐含和极值等条件，运用动量守恒定律、机械能守恒定律或能量守恒定律等进行分析。

现学现练：如图7所示，质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=15m，现有质量m2=0.2kg的物块（可视为质点），以水平向右的初速度v0=2 m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。已知物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2。

（1）求物块在车面上滑行的时间t。

（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的初速度v0′不超过多少？

答 案：（1）t=0.24 s；（2）。