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义卖里的科学规划

2020-05-25卓西咔

数学大王·中高年级 2020年5期
关键词:快车顺风广场

卓西咔

“爸爸快点,再迟就要没位置了。”今天阿才早早地起了床,拉着爸爸要往中心广场奔去。原来今天学校组织义卖实践活动,同学们都可以在家长和老师的陪同下来到市中心广场,设立自己的小摊档,变身成为“小店主”,向路人兜售自己精心准备的文具、玩偶、零食、画作等物品。而且这次活动赚到的义卖款将会用来帮助有困难的小朋友。同时,本次活动还设置了排名,赚取最高金额的同学还将会获得“优秀店员”的奖状一张。这次的实践活动可谓是意义非凡,大家都在积极地筹备着,阿才更是摩拳擦掌,决心“大干一场”,甚至从家里带来了好几本自己心爱的漫画书,希望等下能将它们卖出个好价格。

距离义卖活动正式开始还有一段时间,但市中心广场已经熙熙攘攘,热闹非凡,吸引了不少市民驻足围观。所谓“天时地利人和”,要打好义卖活动这一场“仗”,阿才知道要先选好合适的位置摆摊。经观察发现,偌大的一个市中心广场大致可分为两部分,一部分是拥挤炎热、人来人往的繁华区域,另一部分为阴凉舒适但人流较少的偏僻区域。接着,阿才陷入了沉思:“待在这两个地方的时间该如何分配呢?”一旁的爸爸看着阿才烦恼不已的样子,主动走过来给他打气:“我们上阵父子兵,一起想办法攻克难关。加油!”

如何科学地“部署”摊档?

经过一番调查,阿才与爸爸得到以下这些信息:

阿才在繁华区域摆摊平均每小时可以赚得60元,而在偏僻区域摆摊平均每小时可賺得20元。但是相对在人多的区域要消耗更多的精力,平均每小时消耗40%;在人少的区域每小时仅消耗10%。除此之外,今天的义卖活动会持续2~4小时。

根据这些信息,爸爸设阿才在繁华区域摆摊x小时,在偏僻区域摆摊y小时,那么阿才今天义卖的预计总收入为z=60x+20y(元)。结合两个区域摆摊的平均每小时精力消耗情况,可以得到0.4x+0.1y≤1。根据义卖活动持续时间,得到2≤x+y≤4 。结合实际,x和y都是非负数,所以有x≥0和y≥0 。现在就需要知道,如何选取x和y的值使得总收入z最大。

我们先在坐标轴上分别作出y=-x+4(直线1),y=-x+2 (直线2), y=-4x+10(直线3)和y=-3x+z

20(直线4)的图像:

由于2≤x+y≤4和0.4x+0.1y≤1,故我们取直线1和直线3的左边,直线2的右边,且x≥0和y≥0  ,由此得到图中的阴影部分(也叫可行域)。但是我们如何才能得到z的最大值呢?

既然我们无法直接得出z的值,不妨换一个思路。仔细观察直线4,我们可以发现直线分别与竖轴交于z

20,与横轴交于z

60(分别将x=0和y=0代入)。也就是说,当z取得最大值时,直线与竖轴、横轴相交所得的值最大。那么问题又来了,该如何才能让直线4与两条轴相交得到的值最大呢?现在让我们拿出我们的直尺,不断将直线4往阴影部分“ 推动”(记住不能超出去哟),我们可以得到当直线4经过点A(2,2)(可将直线1和直线3联立求出点A的坐标)时z的值最大,将x=2,y=2代入得到z=2×60+2×20=160(元)。也就是说,要令义卖的总收入达到最大值160元,阿才应该在广场的繁华区域和偏僻区域各摆摊2小时。

如何省钱地“运达”善款?

经过一番“战斗”后,接下来便是把这次的义卖所得在下午6点前送达学校,但现在距离6点还有一个小时。此时阿才开始思考一个问题:“到底如何规划出行的方式,才能花最少的路费在规定时间内抵达学校呢?”阿才对规划摆摊“部署”的方法举一反三,得到了以下见解:

在爸爸的陪伴下,阿才可以选择乘坐“快车”或“顺风车”回校。阿才了解到,“快车”的平均时速为50千米/小时,而“顺风车”相对慢一点,平均时速为25千米/小时。“快车”的收费是10元/千米,“顺风车”的收费为5元/千米。学校距离市中心广场约有40千米远。爸爸身上只带了350元。

根据这些信息,我们不妨设乘坐“快车”x千米和“顺风车”y千米。由此得到总车费z=10x+5y。因为距离学校有40千米远,所以有x+y=40。因为要在1小时内抵达学校,所以有x

50+y

25≤1。因为爸爸身上只有350元,所以有 10x+5y≤350。

现在要回答的问题就是在x+y=40,x

50+y

25≤1,10x+5y≤350,x≥0和y≥0 的约束条件下,如何确定x和y的值,使得z=10x+5y最小。

为此我们先在坐标轴上分别作出y=-x+40(直线5),y=-x

2+ 25(直线6),y=-2x+70 (直线7)和y=-2x+ z

5(直线8)的图像:

按照我们之前的方法(因为直线7是等式,故只能取线上的点,“可行域”只包含BC线段)可得当B在(30,10)处,即 x=30,y=10 时,z取得最小值,有z=10×30+5×10=350 。也就是说,要车费取最少值350元,阿才和爸爸应该坐30千米“快车”和10千米“顺风车”。

经过一天的努力,阿才和爸爸疲惫地回到了家中,但看着手里的“优秀店员”证书,心里充满了成就感。

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