对牛顿迭代法的改进

2020-05-23王乐成赫亚兰韩新丽李小花卢凤兰马秋菊杨录峰

高师理科学刊 2020年3期

关键词：迭代法收敛性牛顿

王乐成，赫亚兰，韩新丽，李小花，卢凤兰，马秋菊，杨录峰

对牛顿迭代法的改进

王乐成，赫亚兰，韩新丽，李小花，卢凤兰，马秋菊，杨录峰

（北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏银川 750021）

牛顿迭代法；二阶收敛性；收敛速度

1 牛顿法

1.1　原理

因此，相应的迭代函数为

（2）

1.2　收敛性

2 牛顿迭代法的改进

由于迭代过程（1）在收敛性上来说仍然存在收敛速度不是很快的问题，经过长时间的发展过程，众多学者研究出一些经典的改进牛顿法，如经典的简化牛顿法、算术平均牛顿法、中点牛顿迭代法和牛顿下山迭代法等．

2.1　简化牛顿法

该方法躲避了复杂的计算，同时也降低了收敛速度．

2.2　算术平均牛顿法

算术平均牛顿法是将牛顿迭代法和牛顿-高斯方法结合，即将梯形公式代入到一般的牛顿迭代法中，得到新的迭代公式

2.3　中点牛顿迭代法

2.4　牛顿下山法

2.5　修正的算术平均牛顿迭代法

3　数值实验

使用Matlab软件计算，结果见表1~3．

表1　函数的数值实验过程

表2　函数的数值实验过程

表3　函数的数值实验过程

由表1~3可以看出，简化牛顿法的迭代次数并没有明显的减少，反而在某些函数里的迭代次数高峰式增长，而算数平均牛顿法在某些函数相比于牛顿法有接近减少一倍的迭代次数，至于中点牛顿法与算术平均牛顿法的迭代次数并无明显增长，而经过改进后的算术平均牛顿法从数据上可以清楚地看出迭代次数的减少，收敛速度明显加快，效率大幅提高，而针对的函数类型也较于稳定，可见这种改进方法是有效的．

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Improvement on Newton iteration method

WANG Lecheng，HE Yalan，HAN Xinli，LI Xiaohua，LU Fenglan，MA Qiuju，YANG Lufeng