蒋亚静，张现周

(河南师范大学物理与材料科学学院，新乡 453007)

1 引 言

一个真实的量子系统总是与周围环境发生相互作用.量子跳跃 (Quantum jump)是开放量子系统中的一种新奇现象，即一个被持续观察的系统在两个分立的态之间发生随机的切换[1].量子跳跃已在许多系统中实现，如囚禁离子[2-4]、原子[5]、光子[6]、超导比特[7]和电子[8].量子跳跃在量子计算、量子热力学和精密测量等方面的应用也得到了研究[9-11].多体纠缠系统中的量子跳跃也是一个很有趣的问题.2012年，Lee等人研究了里德堡原子中的集体量子跳跃，发现多原子系统可以在低里德堡态占据数态和高里德堡态占据数态之间随机切换，并且这种现象来源于原子的集体行为[12].

里德堡原子是指有一个价电子处于主量子数很大的轨道上的原子，具有许多独特的性质，如轨道半径大、寿命长和电偶极矩大[13,14].里德堡原子有许多应用，近年来引起了研究者的广泛关注.例如：可用于腔量子电动力学中量子态的操纵，产生原子纠缠态和光场薛定谔猫态等新奇现象[15].里德堡原子之间的长程相互作用导致一个里德堡原子会在一定的空间范围内抑制其他原子被激发到里德堡态，这就是阻塞效应，这一性质是基于里德堡原子的量子计算的基础[13,16,17].里德堡原子在长程强关联体系的研究中扮演了重要角色[18]，实验上观察到了二维里德堡格点气体的结晶化和多体动力学等现象[19-22].此外，里德堡原子还可用于产生超冷巨型分子[23,24]和研究非线性量子光学[25-27].这些应用反映了里德堡原子在探索新奇量子相和量子信息处理新技术中的潜力.

2016年，Zeiher等人在实验上利用里德堡原子实现了二维的自旋晶格[22].他们利用微波耦合囚禁在二维光晶格中的87Rb原子的两个基态能级(可视为自旋-1/2粒子)，其中一个能级被激发到里德堡态.这一系统有着比二能级原子体系更加丰富的物理现象，比如实验上观察到了自旋粒子的Ramsey干涉条纹[22].受到这一工作的启发，我们将文献[12]研究的二能级系统的量子跳跃推广到三能级系统，研究了微波调制下的里德堡原子的集体量子跳跃.我们利用量子轨线方法计算了三能级原子系统的里德堡态占据数，发现通过微波耦合原子的两个基态子能级可增强发射光子的关联，原子数较少的系统也可以实现高里德堡占据态和低里德堡占据态之间的切换.

2 理论模型

我们考虑N个三能级原子组成的系统.第j个原子的能级分别为|r〉j、|e〉j和|g〉j，其中|r〉j代表里德堡态，|e〉j和|g〉j代表原子的两个基态塞曼子能级.一束连续激光将|e〉j态原子激发到里德堡态|r〉j，而微波将|e〉j和|g〉j耦合起来.这一系统可用平均场方法处理.利用旋波近似，相互作用表象下的哈密顿量为 (ħ=1)：

(1)

其中，Δ=ωl-ω0是激光相对于里德堡跃迁频率的失谐，Ωr和Ωc分别是激光和微波的拉比频率.V是两个里德堡原子之间的相互作用，依赖于原子之间的距离d.里德堡相互作用有多种形式，可通过选择特定的能级或加外场调节，既能调节成偶极-偶极相互作用(V～d-3)或范德瓦尔斯相互作用(V～d-6)，也能调节成排斥相互作用 (V>0)或吸引相互作用 (V<0)[13].为了能够模拟原子数较多的系统，这里假定任意两个原子之间的里德堡相互作用强度是经过归一化处理的常数，这一近似在二维或三维晶格中是合理的[12].

里德堡态的寿命受到自发辐射和黑体辐射的限制.当里德堡原子发生自发辐射时，原子从里德堡态跃迁到基态或能级较低的态.由于能级较低的态寿命较短，可不考虑.这里，我们考虑原子从|r〉j态自发地跃迁到塞曼子能级|e〉j上，而|e〉j和|g〉j通过微波耦合起来.这样，我们考虑的就是三能级原子，相对于二能级原子系统会出现新的现象[12].此外，黑体辐射可导致里德堡原子跃迁到邻近的里德堡态上，可通过低温条件来抑制[28].由于基态原子寿命较长，这里只考虑里德堡态的自发辐射.因此，激光失谐(Δ)和拉比频率(Ωr，Ωc)都可用里德堡态的线宽γ来表示.

里德堡原子通过自发辐射跃迁到基态，向周围环境发出光子.我们关注的是发射光子的动力学性质.处理这样的开放量子系统一般有两种方法，一种是求解主方程 (master equation)，另一种是量子轨线方法 (quantum trajectory).主方程描述了密度矩阵随时间的演化：

|e〉〈r|jρ|r〉〈e|j).

(2)

量子轨线方法处理的是单轨线情况，而主方程求解的是大量独立的轨线叠加的情况，两种方法是有联系的.以二能级原子的自发辐射为例.单个二能级原子在发生自发辐射前后，激发态布居数由1跳变为0.发生跳变的时间是随机的.这就是单轨线情形.如果考虑大量无相互作用的二能级原子，每个原子激发态布居数发生跳变的时间都是随机的，那么对激发态布居数的测量是对许多原子测量叠加的结果，也就是将大量轨线叠加，得到的平均激发态布居数随时间指数衰减的，与主方程的计算结果一致.

3 结果与讨论

我们首先考虑双原子情形(N=2)，如图1(a)所示.若Δ=0，激光共振地激发一个基态原子至里德堡态，里德堡相互作用导致另一个原子失谐为V，其被激发到里德堡态的概率很低，此即阻塞效应，因此|rr〉态占据数很低[17].对于Δ=0.5V的情形，|ee〉正好与|rr〉共振地耦合，可获得较大的|rr〉的占据数.利用量子轨线方法可计算每个原子处于里德堡态的几率，如图1(b)所示.这一系统可以不断的发射与吸收光子.当没有光子发射时，里德堡态上的原子数是振荡的，这是由于微波耦合了|e〉态和|g〉态，这两个态发生了干涉.|e〉态布居数是随时间振荡的.而对于二能级原子，只有基态和里德堡态发生耦合，原子被激发到里德堡态后会停留一段时间再跃迁到基态并且发出光子[12].对于微波调制的两个三能级原子系统，t时刻的波函数可以写为：

图1 双原子情形.(a) 原子能级图.|r〉是里德堡态,|e〉和|g〉分别是两个基态塞曼子能级.一束激光将|e〉态激发到里德堡态,而|e〉和|g〉态通过微波耦合起来.激光和微波的拉比频率分别为Ωr和Ωc.两个原子的里德堡态之间的耦合强度为V.(b) 每个原子的里德堡态占据数随时间的变化.数值模拟中取Δ=5γ，V=10γ，Ωr=1.5γ和Ωr=0.5γFig.1 Two-atom case.(a) The energy levels of the atoms.|r〉 is the Rydberg state,while |e〉 and|g〉 are two Zeeman sublevels of the ground state.|e〉 is excited to the Rydberg state by a continuous laser,which is also coupled with |g〉 by a microwave.The Rabi frequencies of the laser and microwave are Ωr and Ωc.The strength of the Rydberg interaction between the two atoms is V.(b) The Rydberg population of each atom as a function of the time.We choose Δ=5γ,V=10γ,Ωr=1.5γ,and Ωr=0.5γ in the numerical simulations

|ψ(t)〉=c1|gg〉+c2|ge〉+

c3|eg〉+c4|gr〉+c5|rg〉+c6|ee〉+

c7|er〉+c8|re〉+c9|rr〉.

(3)

若t+δt时刻第1个原子发射光子，则将|ψ(t)〉态投影到|e〉1态上，波函数为：

(4)

图2 双原子(a)和四原子(b)情形的光子关联.数值模拟中取Δ=3.4γ和Ωr=1.5γFig.2 The photoncorrelations for two atoms (a) and four atoms (b).We choose Δ=3.4γ and Ωr=1.5γ in the numerical simulations

接下来我们考虑多原子情形.图2(b)显示了四原子系统中不同微波拉比频率下的双光子关联函数.由于相互作用的对称性，任意两个原子发射光子的关联函数相同.相对于二能级原子系统，四能级原子系统的光子关联下降，与文献[12]一致，在2≤Δ/γ≤4区域内，光子关联的值提升明显.更多原子的情形也有类似的现象.

图3 四原子(a-c)和八原子(d-f)系统的里德堡平均占据数.微波拉比频率取Ωc=0(a,d),Ωc=1.5γ (b,e),Ωc=3γ(c,f).所有图中均有Δ=3.4γ和Ωr=1.5γFig.3 The average Rydberg populations for four atoms (a-c) and eight atoms (d-f).The Rabi frequencies of the microwave is set as Ωc=0 in (a,d),Ωc=1.5γ in (b,e)，and Ωc=3γ in (c,f).We choose Δ=3.4γ and Ωr=1.5γ in all the figures

然后我们考虑多原子系统的量子轨线.N个原子系统的平均里德堡占据数定义为〈R〉=∑jRj/N[12].文献[12]计算了16个二能级原子系统的量子轨线，发现〈R〉在两个值之间发生跳变，分别对应亮态(高〈R〉值)和暗态(低〈R〉值).当系统处于暗态时，里德堡态的占据数很低.如果一个里德堡原子跃迁到基态并发射一个光子，那么系统的波函数塌缩，平均里德堡态占据数增大.在短时间内发射光子的原子越多，平均里德堡态占据数越大.图3显示了不同微波拉比频率下的平均里德堡占据数，其中(a-c)是四原子情形，(d-f)是八原子情形.对于四原子情形，无微波时系统没有明显的亮态和暗态.不同的里德堡占据数态之间的切换要在更多的原子中才能观察到[12].在微波驱动的情况下，系统出现了明显的亮态和暗态的切换.这是由于微波驱动虽然降低了平均里德堡态占据数，但增大了光子关联函数，引起了更为明显的光子聚束现象.两个基态能级之间的干涉导致里德堡态占据数也出现了振荡.对于八原子情形，无微波驱动时系统出现了明显的亮态和暗态切换.若系统受到微波调制，系统处于暗态的时间明显变长.可见，微波驱动明显改变了里德堡态占据数和发射光子的统计性质.

本文提出的系统可在二维光晶格中实现[12]，且计算所用参数在实验上也是可行的.例如，两个处于35P1/2态的87Rb原子相距2.5 μm时相互作用强度约为125 kHz，温度为0 K时此原子态的线宽约为γ≈12.1 kHz[28,35]，于是有V≈10γ.对该系统加一静磁场，可以选择两个基态能级|F=1,mF=-1〉和|F=2,mF=-2〉作为|e〉和|g〉态[22].此外，量子跳跃现象可以通过直接探测原子的荧光信号观察到.

4 结 论

综上所述，本文理论上研究了微波调制的里德堡原子集体量子跳跃.在多个二能级原子构成的系统中，利用连续激光激发基态原子到里德堡态可观察到量子跳跃现象.我们发现，将这一基态能级和另一个基态能级通过微波耦合起来可以提高光子关联函数的数值，增强光子聚束效应.三能级原子的里德堡态布居数具有不断振荡的特点.进一步研究了多原子系统的量子跳跃，发现四个原子也可以实现明显的亮态和暗态的切换.而对于二能级系统而言，更多的原子中才能观察到这种现象.将来可以进一步推广到多原子系统，研究里德堡自旋模型中的多体动力学和量子相变[21,22,36].