王海萍 马树燕

【摘要】本文针对高职数学的教学内容，结合本院学生的实际情况，将启发式、讨论式教学方法运用在高职数学的课堂教学中，以不定积分第一类换元法的教学案例进行探讨和实践，取得相应的教学效果.

【关键词】启发式;讨论式;不定积分;换元法

启发式、讨论式教学方法已在各个学科中被广泛引用，但是如何巧妙合理地应用在高职数学课程的教学中，值得我们进一步探讨.数学学科独有的性质和特点决定了数学课不同于其他课程的教学模式和课堂风格.在教学过程中，各种教学方式不能滥用、乱用，只有合理利用，才能有效地提高课堂效率，并且还能激发学生的学习兴趣和内在动力.针对目前高职数学教学现状，结合本院学生实际情况，笔者将多种教学法应用到课堂中，以求不断改进教学方式，提高教学质量.现以“不定积分第一类换元法”这一课作为教学案例，将启发式、讨论式的教学模式应用到课堂教学中.

不定积分是微积分的核心内容之一，也是教学中的重点和难点.学生的思维还停留在导数运算之中，导数运算通过一定的练习，对公式的反复使用，大部分学生都能很好地掌握.相对而言，对学生来讲解题绝不是套用公式那么简单，不定积分虽然是导数的逆运算，但从解题的方法和思路上看，难度大了很多，题目类型也非常灵活.要很好地掌握不定积分的运算方法，需要教师很好地引导和启发.绝大多数学生在学习过不定积分的概念、基本积分公式之后，会利用基本积分公式和不定积分性质求一些简单的积分问题，在这种情形下，要慢节奏地引入新内容、新思想、新方法.

在课堂上首先复习一下上节课的主要知识点，积分概念略提一下，出一至两道练习题，一方面，复习不定积分公式和性质，另一方面，正好引入换元法，所以给出的练习题要恰当、合适.比如，

学生容易发现此问题已不适合用原来的方法，那有什么好的解决办法呢？此时，教师就可以引入本节的主要内容：不定积分的第一类换元法.

面对枯燥的定理，学生一下子摸不着边，无从下手，所以教师在讲解过程中，不能将定理作重点处理，还是应从例题出发，最后回归到定理的结论.但是有必要让学生看一下定理中表达式的特点，在教师的提示下，学生能够有个较浅显的认识，公式有一种“代换”的思想.教师可以问：“代换的目的是什么？”部分学生已经看出，“代换”的目的就是为了简化表达式，从而达到化繁为简、解决问题的目的.这时教师回到原来提出的问题，∫（2x+3）10dx=？教师继续提问：“此表达式可能与哪个积分公式相关？”学生和公式一对比，大部分学生可以想到积分公式

通过对前面两个例题的分析讨论，学生对换元和凑微分的思想已经有浅显的理解，但还远远不够，因为不定积分题目的多样性，决定了需要学生进行多方面的思维训练，需要进一步举例、练习，继续看例题3.

先分析题目，引导学生先观察被积分函数有何特点，发现被积分表达式是两个函数乘积的结构，并且被积函数的一个因式为复合函数ex2，而另一因式2x恰是其内函数x2的导数，即（x2）′=2x，因此，可用凑微分法.

在例题3的解题过程中，提示学生自己观察函数进行讨论研究，对此类题目的解题思路进行讨论研究，最后做总结.最后得出，此类不定积分题目的被积分表达式特点是：（1）两个函数乘积的结构;（2）相乘的两个函数中复合函数的内层函数的导数，正好另外一个函数（某些情况下会相差一个常数倍数）.学生也看出，此类题目的解题思路就是典型的凑微分的方法.

看到这个题目，第一感觉就是被积分函数是一个简单的初等函数，但是却不能直接用积分公式，那应该怎么办呢？教师引导学生思考，既然不能直接用公式，那只能去处理被积分函数本身了，对正切函数tanx，学生能很熟练地想到将其转化，tanx=sinxcosx，那么原来积分就转化为∫tanxdx=∫sinxcosxdx，转化形式之后，利用正弦函数和余弦函数之间的积分关系，自然想到应该如何凑微分，

这些凑微分形式可以让学生自己进行观察、分析，分组讨论，每个小组选两种形式进行举例，要求学生自己举出相应例题，再从中选择典型例题进行计算分析.

最后可以让各小组继续讨论，看还可以总结出哪些凑微分形式，并对所总结的凑微分形式给出对应的例题进行解答，将此作为这次课堂的课后作业.

启发式、讨论式教学可以使学生的思维处于活跃的状态，一步步紧跟着教师的思路，面对问题，探索方法，解决问题，中间也可以展开一些小组讨论或其他形式的课堂活动.教师在采用这些教学方法时，首先要对学生的实际情况有足够的了解，掌握学生的整体水平甚至个体实际能力.教师提问要有序、递进，并且要注意到提问对象的实际情况，预想到可能出现的困难和各种答案，想好应对不同结果的方案，最关键的是要和教授的知识点合理巧妙地相结合.当然，一次成功的课堂教学用到的可不仅仅是启发式和讨论式的教学手段，其间还可以结合其他的教学方法和手段，比如，可以根据学生实际状况，对班级学生分层次分组，对不同组的学生布置不同難度的题目.教师要努力营造和谐、宽松的课堂氛围，让学生感觉自己是课堂真正的主人，激励学生打破自己的思维定式，发现问题，积极参与数学课堂教学的全过程.

这样的一次课程，不仅让学生掌握了基本知识点，加强了举一反三的能力，还进一步增强了学生分析、归纳和总结的能力，为不定积分的进一步学习打下很好的基础.总之，引入启发式、讨论式教学手段很大程度上提高了课堂教学的效率，激发学生学习数学的热情和兴趣，同时也取得较好的教学效果.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]吴传生.经济数学—微积分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]修风光.求不定积分的几种常用方法[J].数学学习与研究，2018（7）：13.