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高中数学微专题教学设计与反思

2020-05-06周文欣

广东教学报·教育综合 2020年32期

周文欣

【摘要】以探究直线的非标准参数方程中的几何意义的微专题设计为例,坚持以学生为主的原则,设计出符合学情,能提高学生思考与归纳能力的微专题.设计微专题遵守循序渐进的原则,从原始题目得到启发,对题目进行变式,层层递进,让学生参与探究过程,学会归纳方法,总结技巧,并能解决这一类型的问题.学生能从中体会数学思想,感受数学乐趣.教师也能在设计微专题的过程中,换位思考,设计出更加贴近学生情况的题目,整个设计过程能促进教师专业提升。

【关键词】微专题设计;直线非标准的参数方程;几何意义

学生拿了一道关于直线的参数方程的题目以及参考答案过来,问道:“老师,为什么算线段|AB|的长时, |t1t2|这里要乘以 5?”这个是非标准形式的参数方程,但是这个倾斜角并不是特殊角,所以不知道这条直线倾斜角的正弦值和余弦值,从而无法写出直线的标准方程,这样子 就没有书本上说的几何意义,那到底怎么做呢?答案上为什么最后还要乘以 呢?

具体的问题和解答如下:

问题:已知直线参数方程为,它与曲线交于A ,B 两点,求|AB|的长。

解:把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设A ,B 对应的 t1、 t2,则 ,

所以,线段|AB|的长为

因为这一道题以及学生出现的情况,我设计了一个关于探究直线的参数方程中t 几何意义的微专题。

一、微专题的教学设计

直线的参数方程主要解决线段的长度以及线段与线段之间的问题,利用直线的参数方程中参数t的几何意义,能够大大地减少计算量。同时,这也要结合转化思想和数学结合的思想,下面是探究直线非标准形式下参数方程 的几何意义的微专题过程。

问题1:已知直线参数方程为

它与曲线交于 A, B两点,求 |AB|的长。

分析:我们发现,根据直线参数方程的标准式下|t|的几何意义,利用公式和韦达定理可以解得|AB|的长度。

解:把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设 A、B 对应的 t1、t2 ,则,

所以,线段 的长为

问题2:已知直线参数方程为(t为参数),它与曲线交于 A, B两点,求|AB|的长。

分析:我们可以发现,所以这不是标准形式。如果我们知道直线的一个点和倾斜角,我们可以写出直线参数方程的标准形式。消参后得到直线的普通方程为,得到线上一点坐标(-1,2),倾斜角为,从而写出標准的参数方程 。接下来的解答同问题1一样。

问题3:已知直线参数方程为,它与曲线交于A , B两点,求|AB|的长。

分析:经过判断,发现,不是标准的参数方程。但是消参之后,直线的普通方程为,倾斜角并不是特殊角,难以根据这种方法写出标准方程。

因为只有在直线参数方程为标准方程的情况下,|t|的几何意义才成立(|t|的几何意义:平面内过定点、倾斜角为的直线 的参数方程的标准形式为(直线的参数方程的标准形式可以写成,此处 )。我们假设直线上两点 A、B 所对应的参数分别为tA和tB,则: A、 B两点到的距离分别为|tA|,|tB|)。那么,如果直线的参数方程不一定是标准形式时,那线上的动点到定点距离与 有什么关系呢?

直线的参数方程为 , 。换句话说不一定等于 1。设直线上的一点坐标为,根据两点的距离公式可得

进而我们可以得到以下结论:直线的参数方程为,如果我们假设直线 上两点 A、B 所对应的参数分别为tA ,tB则:

所以,在这题的解答中,即使我们因为无法知道倾斜角导致写不出直线参数方程的标准形式,但是我们经过推导可以知道,给出任一个直线的参数方程,我们都可以根据上述公式就算出|AB|。

思考与练习:已知在直角坐标系中,曲线C的参数方程为,直线参数方程为。设直线与曲线C相交于A ,B 两点,求的值。

归纳与反思  (1)直线的任一参数方程中参数t的意义是:直线l的参数方程写成 , R,bR。我们假设直线l上点A所对应的参数为tA,则: A点到点的距离分别为。

(2)计算弦长问题时,可能要用到韦达定理,计算会更方便。

二、关于设计微专题的小结与反思

“微专题”是解决学生易错易漏点的一个非常好的工具,能帮助学生弥补盲点,强化重点,突破难点,特别适合高三复习使用.直线非标准形式下的参数方程中参数 的几何意义非常适合利用“微专题”这个工具来呈现探究过程.在设计“微专题”的过程中,要清楚知道学情,了解学生在哪一方面出现疑惑不能解决.要紧紧抓住这个“疑惑”来设计问题,层层递进,深入挖掘,突破这个“疑惑”,使学生醍醐灌顶,印象深刻.与此同时注意激发学生的兴趣,创造空间给学生思考,引起学生解题的欲望,体验数学的乐趣,得到解题给自己带来的喜悦感.要注意学生现在的知识结构,思维水平,通过设计的题目帮助学生构建数学网络知识结构,每完成一道题目鼓励学生自行总结规律,归纳方法,学会技巧,体会数学思想,从质量上得到提高.最后通过巩固练习。比如,说在这个设计的最后及时给学生练习,更好掌握学生学习的情况,进而对下节课的内容进行调整.同时在设计练习中的题目也要进行深化,简单的变式,让学生学会灵活处理,真正掌握该专题的本质。

对老师而言,“微专题”不仅促进教师专业成长,还可以更好了解学生对知识掌握的情况.对学生而言,“微专题”能提高他们的解题能力,有助思维发展,感受数学的魅力,增加对数学的兴趣.

参考文献:

[1]刘炜.见微知著慎思明辨——高三“函数最值”的微专题探究[J].上海中学数学,2018(09).

[2]朱建民,陈雷.关联同类微专题,铺垫设问助突破——以中考微专题复习为例[J].中学数学,2018(04).

[3]范习昱.“微专题”框架下高三数学二轮复习如何用好课本例习题[J].中学数学月刊,2018(09).

[4]钱卫华.见微知著方法清 以小见大本质明——以“抛物线中三角形面积的最大值”为例谈微专题教学[J].中国数学教育,2018(21).