■四川省阆中市川绵外国语学校

一、选择题

1.从1,2,…,9这9个数中,随机抽取两个不同的数,则这两个数的和为偶数的概率是( )。

2.根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研,其中有4名男性党员,3名女性党员。现从中选3人去甲村,若要求这3人中既有男性,又有女性,则不同的选法共有( )。

A.35种 B.30种

C.28种 D.25种

3.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关,通过随机询问120名高中生是否喜好阅读,利用2×2列联表,由计算可得K2=4.236。

表1

参照表1,可得正确的结论是( )。

A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

B.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”

C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

D.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”

4.在3次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A发生次数ξ的期望和方差分别为( )。

5.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如：2 019+100=2 119,则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是( )。

A.100 B.96 C.60 D.30

6.二项式展开式中只有一项的系数为有理数,则n可能取值为( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的珍宝。如图1所示的弦图中,由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现用5种不同的颜色涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有( )。

A.180种 B.192种

C.420种 D.480种

8.设随机变量X服从二项分布X～,则函数存在零点的概率是( )。

9.设X～N(1,1),其正态分布密度曲线如图2 所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分的点的个数估计值是( )。

(注：若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ＜X＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=0.954 4)

A.7 539 B.7 028

C.6 038 D.6 587

10.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢1个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )。

A.18种 B.24种

C.36种 D.48种

11.一位射箭运动员在训练时只记射中9环和10环的成绩,未击中9环或10环就记为0环。该运动员在训练时击中10环的概率为a,击中9环的概率为b,既未击中9环也未击中10环的概率为c(a,b,c∈［0,1）),如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环,则当取最小值时,c的值为( )。

12.设一个正三棱柱ABC-DEF,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行。假设它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10 次,仍然在上底面的概率为P10,则P10为( )。

二、填空题

13.已知,则x=_______。

14.有10个不同的小球,其中4个红球,6个白球。若取到1个红球记2分,取到1个白球记1分,现从10个球中任取4 个,使总分不低于5分的取法有_______种。

15.若(1-ax+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则实数a的值为_______。

16.有4个大人,2个小孩组团去某景区旅游,准备同时乘观光缆车,现有3辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘3人,为了安全起见,小孩乘缆车必须有大人陪同,则不同的乘车方式有______种。

三、解答题

17.用0,1,2,3,4,5,6 构成无重复数字的七位数,其中：

(1)能被25整除的数有多少个?

(2)设x、y、z分别表示个位、十位、百位上的数字,满足x＜y＜z的数有多少个?

(3)偶数必须相邻的数有多少个?

18.在研发新型冠状病毒疫苗实验中,某教授所带的实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系,选取6 只实验动物进行血检,得到如下资料(表2)：

表2

记s为抗体指标标准差,若抗体指标落在内,则称该动物为有效动物,否则称为无效动物。研究方案规定先从6只动物中选取2只,用剩下的4只动物的数据求线性回归方程,再对被选取的2 只动物数据进行检验。

(1)求选取的2 只动物都是有效动物的概率。

(2)若选取的是编号为1和6的2 只动物,且利用剩余4只动物的数据求出y关于x的线性回归方程为=0.17x+a,试求出a的值。

(3)若根据回归方程估计出的1 号和6号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差,则认为得到的线性回归方程是可靠的。试判断(2)中所得线性回归方程是否可靠。

参考公式：样本数据x1,x2,…,xn的标准差：s=,其中为样本平均数。

19.设(1+mx)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(m∈R)。

(1)若m=2,求a1+2a2+… +2 020a2020的值;

(2)若m=-1,求的值。

20.在新中国成立七十周年之际,某市宣传部为了了解每天晚上7：30～10：00 这2.5 h内居民浏览“学习强国”的时间,进行了一个调查,如果这个社区共有成人按10 000人计算,每人每天晚上7：30～10：00打开“学习强国APP”的概率均为p(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p=,0＜p＜1),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的。他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位：min),得到下面的频数表(表3)：

表3

以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间。

(1)试估计p的值。

(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数,①求X的数学期望E(X)和方差D(X);②若随机变量Z满足Z=,可认为Z～N(0,1),假设当4 950＜X≤5 100时,表示社区处于最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数)。

附：若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ＜Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ＜Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ＜Z≤μ+3σ)≈0.997 4。

21.在某省高中数学学科竞赛中,某一个考区4 000 名考生的参赛成绩统计如图3所示。

(1)求这4 000 名考生的竞赛平均成绩¯x(同一组中数据用该组区间中点作代表)。

(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2,那么该区4 000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人?

(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全省的参赛考生的成绩情况,现从全省参赛考生中随机抽取4 名考生,记成绩不超过84.81 分的考生人数为ξ,求P(ξ≤3)。(精确到0.001)

附：①s2=204.75,=14.31;

②z～N(μ,σ2),则P(μ-σ＜z＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜z＜μ+2σ)=0.954 4;

③0.841 34=0.501。

22.从2021 年起很多省将实施新高考,2018年秋季入学的高一学生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语3 科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3科参加考试,每科目满分100分。

为了应对新高考,某高中从高一年级1 000名学生(其中男生550人,女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查。

(1)已知抽取的n名学生中含女生45人,求n的值及抽取到的男生人数。

(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到n名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的2×2列联表(表4)：

表4

请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关,说明你的理由。

表5

参考公式：K2=

(3)在抽取到的45名女生中按分层抽样再抽出9名女生,了解女生对“历史”的选课意向情况,在这9名女生中再抽取4人,设这4人中含选择“地理”的人数为X,求X的分布列及期望。