邢家省，吴 桑

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

多位数学家对等时降线问题或等时降落问题[1-4]进行了原创性的研究.历史文献中，关于等时降线问题的解法都较复杂，限制了其广泛传播，因此有学者[5-6]充分利用现代成果给出了严密简洁的解法.笔者拟将质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的问题[3，7-8]转化为积分方程求解的问题，并对积分方程做阿贝尔积分变换，再利用积分换序方法进行求解.

1 质点沿光滑轨道下滑所需时间

建立xOy坐标系，Ox轴正向水平向右，Oy轴竖直向上，设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，x1

或者

设曲线L的最低点在Ox轴上，质点在曲线L上高度为h处从静止开始下滑，到最低点所需时间[3-8]为

(1)

2 质点从有限高度下落的降线问题的阿贝尔积分方程

设常数H>0.实际降线问题是从有限高度下落的，所以降线问题可归结为如下积分方程和微分方程问题[1-4]：

(2)

积分方程问题是给定函数T(h)，寻找函数f(y)，使得(2)式成立.(2)式被称为阿贝尔积分方程[1,4].

3 有限区间上的阿贝尔积分方程的求解

则有

h(x)=g(x) 0

证明对于任意固定的0

由于φ(x),f(x)∈C(0,H]，且在(0,H]上可积，因此

由于

因此

证明

证毕.

引理3[5-6]设f(x)在(0,H]上连续可积，令

(3)

则有

证明对(3)式两边作阿贝尔积分变换[4-6]，利用引理1的结果可得

利用引理2的结果可得

证毕.

引理4[5-6]设f(x)在[0,H]上一阶导数连续，且f(0)=0，令

φ(0)=0，

则有：(ⅰ)φ(x)在[0,H]上一阶导数连续，且

φ′(0)=0.

证明(ⅰ)当0

由于当0

再令

利用引理1的结果可得h(x)=g(x)，0

利用引理2的结果可得

于是

从而

证毕.

显然，引理3比引理4的条件少，利用引理3更容易解决等时降线问题.

4 等时降线的阿贝尔积分方程的求解

等时降线的积分方程的求解，即T(h)为常数T时的求解.此时，积分方程为

(4)

对(4)式利用引理3 的结果，可得

(5)

(5)式就是积分方程(4)的解.

5 等时降线是倒摆线的证明

在等时降线情况下，利用(3)式可得如下常微分方程：

(6)

令t=2θ，则有

这正是倒摆线的方程形式.由此可知，等时降线是倒摆线[1-8].文献[2]中对倒摆线具有等时性给出了计算验证.

6 阿贝尔关于等时降线问题的求解

(7)

积分方程的问题是给定函数T(h)，寻找函数f(y)，使得(7)式成立.(7)式被称为阿贝尔积分方程[1,4].阿贝尔运用拉普拉斯变换方法[1,4]给出了(7)式的求解过程.

利用广义积分的计算方法[9-18]可得

所以

由于

因此由拉普拉斯变换的性质[8-12]可得

(8)

(8)式即为(7)式的求解公式.

当T(h)=T(T为常数)，也即等时降线情形时，利用(8)式可得

于是

从而得到等时降线情形的微分方程

(9)

对(9)式进行求解，可知等时降线是一条倒摆线.