摘 要：本文以2019年云南省学业水平考试第23题为背景，从试题分析、解题展示引发解后反思，提出了以中考题为依托开展课堂教学，在数学教学中，教师要引导学生不断总结与反思，加强元认知的开发，使学生真正领悟数学的思想和方法，提升数学思维层次，提升数学解题能力。

关键词：原题呈现;解题展示;解后反思

一、 原题呈现

（2019年云南23题）如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2=DB·DA。延长AE至F，使AE=EF，设BF=10，cos∠BED=45。

（1）求证：△DEB∽△DAE;

（2）求DA、DE的长;

（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长。

二、 试题分析

试题是2019年云南省学业水平考试第23题压轴题，设有3个小问，主要考查三角形相似的判定及性质、圆的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数及共圆问题。第（1）问证三角形相似是考查相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。第（2）问求线段DA、DE的长包含在DE2=DB·DA，只需求出AB的长，找到DE、DB的关系即可求解，实际上是考查相似三角形的性质、锐角三角函数及勾股定理。（3）求DM的长，结合（2）只需求出AM的长即可求解，考查的是共圆、圆的性质及相似三角形的判定及性质，对学生的应用能力要求较高。三个小问紧密联系，第（2）问要用到第（1）问的结论，第（3）问要用到第（2）问中求出的线段长来解题，故学生做题是需要整体把握性质和特征。

三、 解题展示

本题是以圆为背景的综合体，涉及三角形的相似、锐角三角函数。常应用两角对应相等，两三角形相似和两边对应成比例且夹角相等证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题。

解第（1）问：

看见等积式就联想到对应线段成比例，所以证三角形相似只需找夹角相等即可。

∵DE2=DB·DA，

∴DBDE=DEDA。

∵∠D=∠D，

∴△DEB∽△DAE。

解第（2）问：

所求线段DA、DE的长包含在DE2=DB·DA中，而DA=DB+AB，故只需求出AB的長，找到DE、DB的关系即可求解。

∵AB是直径，∴BE⊥AF。

∵AE=FE，BF=10，∴AB=BF=10。

∵由（1）中△DEB∽△DAE，∴∠A=∠BED，

∴cosA=cos∠BED=45，

∴在Rt△ABE中，AE=ABcosA=10×45=8，

∴BE=AB2-AE2=6。

∵△DEB∽△DAE，∴DBDE=BEAE=68=34，

∴设DB=3k，DE=4k，则DA=DB+AB=3k+10，则（4k）2=3k（3k+10），

∴k=307，∴DE=1207，DA=1607。

解第（3）问：

由点F在B、E、M三点确定的圆上推出F、B、E、M四点共圆。由（2）知∠BEF=90°，由此推出BF是直径，从而推出∠BMF=90°，进而推出△ABE∽△AFM，从而利用相似求出AM，即可得DM的长。

连接FM。

∵点F在B、E、M三点确定的圆上，∴F、B、E、M四点共圆。

∵由（2）知∠BEF=90°，

∴BF是直径，∴∠BMF=90°，∴∠BMF=∠AEB。

∵∠A=∠A，∴△ABE∽△AFM，

∴ABAF=AEAM1016=8AMAM=645，

∴MD=AD-AM=1607-645=35235。

四、 解后反思

中考真题凝结了命题者的智慧，体现了新课标的要求与理念，好的中考题不仅有选拔功能，而且有很好的教学导向，每一道题都值得学习与探究，以中考题为依托开展课堂教学具有较好的现实意义。

1. 要在平时的教学中回归课本加强基础知识的教学，学生只有掌握了基础知识，才能对知识更深层次的认识，才能达到提高解题能力的效果。

2. 要在平时教学中，教师要关注解题过程。数学学习本身就是一个过程，平时教学中要立足课标，注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的联系。

3. 要在平时的教学中培养学生解题的反思。一是培养解题前思路的反思。在求解某一道题前，要认真审题，通过联想和反思找到求解的思路。二是培养解题中的目标反思。要训练学生将复杂的问题转化成若干小问题进行分析，一一完成。分析后留给学生思考的时间，这样才能提高学生几何分析的能力，才能训练和培养学生的解题能力。三是解题后思维剖析反思。学生完成解题后，要将题目中涉及的知识点进行巩固，领悟数学思想方法。

4. 要教会学生学习数学的方法。教学时应该引导学生发现规律，由规律发现方法，同时让学生展示自己的发现，从而激发学生学习的兴趣，这样既教会学生学习数学的方法，又让学生产生了学习数学的原动力。

5. 要在教学中培养学生对学习进行反思。一是课前回顾前节课知识的反思，看看自己前节课知识的掌握巩固情况;二是课堂中让学生做好重点内容的摘记，从摘记中体验课堂学习的内容;三是一节课结束时让学生进行反思，想想自己本节课有什么收获、疑问;四是让学生养成睡前在头脑中回顾一天的学习内容，对一天的学习情况进行反思，从而及时巩固当天的学习内容。

五、 结束语

总之，在数学教学中，教师要引导学生不断总结与反思，加强元认知的开发，使学生真正领悟数学的思想和方法，提升数学思维层次，提升数学解题能力。

参考文献：

[1]义务教育教科书数学九年级（上）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]张新村.一道圆中动点问题的解法赏析[J].中学数学，2018（19）.

[3]高厚良.以圆为背景的一道中考模拟压轴过渡题的命制与导向反思[J].中学数学，2014（14）.

[4]汤国翠.初中数学解题反思能力的培养[J].数理化解题研究，2013（12）.

作者简介：

查书平，云南省曲靖市，云南省曲靖市马龙区第一中学。