詹婉荣，于 海

(洛阳师范学院数学科学学院, 河南洛阳 471934)

粗糙集理论由波兰数学家Pawlak于1982年提出，它是一种新型的处理模糊和不确定知识的数学工具，其主要思想就是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则.经过多年的发展，该理论已被成功地用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识别和数据挖掘等领域[1].

属性约简是粗糙集理论中的核心研究内容之一[2-3].数据库中的属性并不是同等重要的, 甚至其中某些知识是冗余的，通过属性约简, 可以去除数据库中的冗余、无用的成分, 从而揭示数据中隐含的规律.从粗糙集理论的角度看, 在一个信息系统中, 有些属性对于分类来说是多余的, 去掉这些属性后，信息系统的分类能力不会改变, 所以属性约简后仍然会反映一个信息系统的本质信息.然而，在一个信息系统中寻找所有约简或最优属性约简会面临NP-hard问题.目前解决这一问题通常考虑启发式算法，大多数启发式算法都是以属性重要性作为衡量指标对属性进行筛选，最终求得最优或次优的约简组合.根据属性重要性度量方法的不同，目前算法主要分为三大类: 基于属性在区分矩阵中出现的频率的方法[4-7]、基于属性依赖度的方法[8-9]以及基于信息熵的方法[10-11].

1 信息系统及其属性约简

定义1(信息系统)信息系统S是一个四元组:S=(U,AT,V,f)，其中，U表示对象的非空有限集合，称为论域；AT表示属性的非空有限集合；V是属性的值域集；f是信息函数，即f∶U×AT→V.

AT可进一步划分为2个集合: 条件属性集C和决策属性集D，并满足AT=C∪D且C∩D=φ, 则S被称为决策系统.

定义2(不可区分关系)设A⊆AT，不可区分关系ind(A)⊆U×U定义如下:

ind(A)={(x,y)∈U×U|∀a∈A,f(x,a)=f(y,a)}.

对任意两个对象x,y∈U，若xind(A)y，则基于属性集A，x和y是不可区分的.

根据不可区分关系的定义，Pawlak将信息系统的约简定义为保持不可区分关系ind(AT)不变的极小属性集.

定义3(约简)设S=(U,AT,V,f)为一信息系统，如果满足以下两个条件，那么属性集R⊆AT被称为一个约简.

(1)ind(R)=ind(AT)；

(2)∀a∈R，ind(R-{a})≠ind(AT).

一般情况下，信息系统的约简不唯一，所有约简之集记作Red(S).

定义4(核)所有约简的交集称为核，记作Core(S).

设S=(U,AT,V,f)为信息系统，以下我们设

U={u1,u2,…,un}，AT={a1,a2,…,am}.

定义5(区分矩阵)设S=(U,AT,V,f)为信息系统，|U|=n，S的区分矩阵是一个n×n的矩阵M=(Mij)，其中Mij对应一对对象(ui,uj)，定义如下:

Mij={a∈AT|f(ui,a)≠f(uj,a)}.

Mij的含义为:Mij是由能区分对象ui和uj的属性组成的集合.如果Mij≠φ，那么对象ui和uj是可区分的.另外，区分矩阵M是对称的，即Mij=Mji，且Mii=φ.所以，只需给出区分矩阵的下三角矩阵即可.

定义6(区分函数)区分矩阵M的区分函数定义为

f(M)=∧{∨Mij|Mij≠φ,1≤i,j≤n}.

其中∨Mij表示Mij中的属性的析取，∧{∨Mij}表示∨Mij的合取.

2 最大可能约简算法

虽然利用定义6中的区分函数可以求出所有的约简，但寻找信息系统的所有约简是NP完全问题，而且在实际应用中，我们不必找出所有约简，有时找到一个约简就能满足需要.本文中，我们不去寻找所有约简，而是寻找发生的可能性最大的约简.

依据区分矩阵的定义可知，某个属性在区分矩阵中出现的频率越高，该属性可区分的对象数就越多，进而表明它的重要性就越大.另外如果Mij中只有一个属性，该属性一定在约简中.进一步分析可知，区分矩阵中某项的属性个数越小，该项对分类所起的作用就越大.

由于寻找所有约简是NP完全问题，目前几乎所有的约简算法都是基于启发式的，其策略依赖于属性重要性的定义，因此对属性重要性的定义是一个关键问题.基于上面的分析，本文构建的属性重要度必须满足以下3条规则:

(1)区分矩阵中某些属性出现的越频繁，该属性就越重要；

(2))区分矩阵中某项若只有一个属性, 则该属性的重要性最大；

(3)区分矩阵某项中属性个数越小，该项中属性的重要性越大.

在构建属性重要度之前，我们先分析约简产生的过程.

定理1设S=(U,AT,V,f)是信息系统，M为S的区分矩阵,R⊆AT为S的一个约简当且仅当以下两个条件同时成立:

(1)∀1≤i,j≤n,Mij≠∅⟹R∩Mij≠∅;

(2)∀a∈R,∃i,j, 使得

Mij≠∅，(R-{a})∩Mij≠∅.

由定理1可知，一个约简和区分矩阵中每个非空属性集的交都不能为空.也就是说，约简中的属性取自于且只能取自于区分矩阵中这些非空属性集.

令MS={Mij|Mij≠∅, 1≤j

进一步分析可知，如果R⊆AT是一个约简，由定理1可得到如下结论:

(1)∀a∈R,a必取自于MS中一个或多个属性集.

(2)∀Si∈MS，一定有R中的属性取自于Si.

约简总是存在的且不唯一，我们要得到一个约简，必须从S=i中取一个属性.本文在Si中，优先选取概率较大的属性.

以下我们计算一个属性出现在约简中的概率.

MS={S1,S2, …,Sl},不失一般性，不妨设

(1)

(2)

对于约简中的核有下面定理.

定理2若属性ai是核，即ai∈Core(S)，则ai出现在约简中的概率P(Bi)=1.

证明若属性ai是核，则ai在MS中一定以单属性集的形式出现，即{ai}∈MS.设{ai}在MS中排第k位.则由(1)式可得

于是

=0.

证毕.

注1:

(1)由以上分析可知，属性ai出现在约简中的概率P(Bi)满足上面提到的属性重要性的3条规则.因此我们把P(Bi)作为属性ai的重要度是合理的.

(2)文献[4]和文献[5]以属性在区分矩阵出现的次数或频率作为属性的重要度，而我们是以属性出现在约简中的概率作为属性的重要度的.

P(Bi)越大，表示属性ai出现在约简中的可能性越大.下面我们以P(Bi)为属性ai的重要度给出最大可能约简的定义, 并构造最大可能约简算法.

定义7(最大可能约简)以空集作为初始约简集，将属性出现在约简中的概率作为属性的重要度，依次选择属性重要度较大的属性添加到约简集中，直至得到一个约简为止.

这样得到的约简，我们称之为最大可能约简.接下来我们给出一个寻找最大可能约简的算法.

算法(最大可能约简算法):

输入:S=(U,AT,V,f)

输出: 最大可能约简R

步骤1 由定义5求区分矩阵M，计算集合MS；

步骤2 由(2)式计算各个属性出现在约简中的概率P(Bi)；

步骤3 R=∅；

步骤4 计算A=∪MS，并选取A中概率最大的属性a(如果有多个，就任选一个)，R=R∪{a}；

步骤5 删除MS中含属性a的元素，即

MS=MS-MS+(a)，(其中MS+(a)表示MS中含有属性a的元素组成的集合)；

步骤6 若MS≠∅，转步骤4，否则算法结束，输出最大可能约简R.

下面给出上述算法的时间复杂度分析.

注2:

(1)由定理2可知，核属性出现在约简中的概率为100%，因此核一定优先选入约简中.

(2)最大可能约简总是存在的，但不唯一.

3 实例分析

为了进一步说明本文提出的最大可能约简算法，下面给出两个实例.

例1以表1给出的信息系统为例，说明最大可能约简算法的可行性和有效性.

表1中信息系统的区分矩阵M为

M=

表1 信息系统

由此可得MS为：

MS={{a,d},{a,b,c,e},{a,c},{d,e},

{b,e},{b,c,d,e},{a,c,d},{a,d,e},{a,b,d,e},{a,b,c,e},{a,b,c,d},

{a,c},{a,c,d,e},{a,b,c,e},{b,d}}

于是A={a,b,c,e}，根据(2)和(1)式计算每个属性的概率:

按照最大可能约简算法，先将属性a添加到约简R中，在MS中删去含有a的元素，得

MS={{d,e,},{b,e},{b,c,d,e},{b,d}}，

A=∪MS={b,c,d,e}.接着将属性d加入到R中，删去MS中含有d的元素，MS={{b,e}},A=∪MS={be}，再将属性e加入R中，删去e的元素，此时，MS=∅，则得到最大可能约简为R={a,d,e}.

从此例可以看出，尽管属性c出现在约简中的概率和属性e出现在约简中的概率相等，但在将属性a,d加入约简R的过程中被删去.故在最大可能约简R中并不含有c.

例2 表2给出一个信息系统，我们来求该信息系统的最大可能约简.以此说明核属性出现在约简中的概率为1，以及最大可能约简不是唯一的.

表2 信息系统

表2中信息系统的区分矩阵为:

MS={{a,b,c},{a,b,c},{a,c},{a,b,c},{b,c},{a,b},{b},{a,b,c},{b,c},{a,b}}.

而A={a,b,c}，根据(2)式和(1)式计算每个属性的概率:

按照最大可能约简算法，先将属性b添加到约简R中，在MS中删去含有b的元素，MS={{a,c}},A={a,c}，这时，属性a和属性c的概率一样，如果将属性a加入到R中，删去MS中含有a的元素，此时，MS=∅，于是得到最大可能约简为R={b,a}.如果将属性c加入到R中，则得到最大可能约简为R={b,c}.

由此例可以看出:

(1)在区分矩阵中，属性b是单属性集，即属性b是核，它出现在约简中的概率P(b)=P(B2)=1；

(2)最大可能约简是不唯一的.

4 结语

属性约简是粗糙集理论的核心内容.因为寻找信息系统的所有约简是NP完全问题,所以本文在区分矩阵的基础上提出了最大可能约简算法，为粗糙集的属性约简提供了新的方法.该算法在区分矩阵的基础上，计算每个属性出现在约简中的概率，并根据概率的大小，对属性进行排序，将概率大的属性优先添加到约简中，直到得到一个约简.本文提出的最大可能约简是粗糙集理论在实际应用中的探索.理论分析结果表明，本文的算法是有效可行的.