伸缩货叉齿轮齿条虚拟样机装配的研究

2020-03-22李成群

机械工程与自动化 2020年1期

李奇，李成群，李牧

（华北理工大学机械工程学院，河北唐山 063210）

0 引言

伸缩货叉是堆垛机上常用的执行装置，其传动方式大致分为两种：链条传动和齿轮齿条传动。齿轮齿条式伸缩货叉一般为三级货叉，即上、中、底三个叉体叠加在一起。齿轮齿条式伸缩货叉的一级驱动是底叉和中叉之间的齿轮齿条机构，齿条安装在中叉下面，三个相互啮合的齿轮则安装在底叉上，中间齿轮作为主动轮与伺服电机、减速器相连，两个从动齿轮带动齿条移动，实现中叉平移；二级驱动是中叉的左右侧各布置有一个同步带轮，这两个同步带轮相当于滑轮组的两个动滑轮［1］，同步带分别连接底叉和上叉的同一侧，绕过中叉另一侧的同步带轮，由中叉平移带动上叉平移，实现差动。

齿轮齿条式伸缩货叉的一级驱动是由三个齿轮和一个齿条构成的闭合传动机构，要使伸缩货叉正常运行，齿轮之间、齿轮和齿条之间就必须准确啮合。齿轮的啮合条件是模数相等、压力角相等，但是该闭合传动机构只满足这两个条件无法实现正确啮合，存在轮齿之间相互干涉的情况，说明闭合齿轮齿条之间还需满足其他条件才能正确啮合。本文结合Wolfram Mathematica、SolidWorks和AutoCAD软件进行计算和虚拟样机试验，通过原理推导提出了一种能够准确装配齿轮齿条的方法。

1 闭合齿轮齿条正确啮合条件的相关推导

齿轮齿条式伸缩货叉的整体结构如图1所示，驱动机构啮合示意图如图2所示。图2中，主动齿轮1的齿数、模数和压力角分别为Z1、m1和α1，从动齿轮2、3的齿数、模数和压力角分别为Z2、m2和α2，齿条的模数和压力角分别为m3和α3，l为两从动齿轮轴心O2O3之间的中心距，h为驱动齿轮1与从动齿轮2、3轴心连线O2O3之间的垂直距离，夹角x为驱动齿轮1与两从动齿轮2、3轴心连线O1O2、O1O3之间的夹角，夹角γ1、γ2分别为两从动齿轮2、3轴心到齿条的垂线与连线O1O2、O1O3之间的夹角。

图1 齿轮齿条式伸缩货叉整体结构

图2 驱动机构啮合示意图

根据图2的几何关系可知，从动齿轮2、3之间的齿顶圆不能相互接触，驱动齿轮1的齿顶圆与齿条的齿顶线不能相互接触。根据伸缩货叉驱动机构的几何条件及齿轮啮合条件可以得出以下关系［2］：

其中：ha1、ha2、ha3分别为齿轮Z1、Z2和齿条Z3的齿顶高。

使用标准齿轮的条件下，压力角α＝20°，齿顶高ha＝h＊am［3］（h＊a为齿顶高系数，h＊a＝1），所以由式（4）、式（5）得：

两个从动轮之间的中心距l和其中心连线与驱动齿轮轴心的垂直距离h为：

将式（8）、式（9）代入式（6）、式（7），解得关于夹角x的不等式如下：

在驱动齿轮1的分度圆上，设定点A与点B的夹角x之间具有n1个整周节，两个端点分别具有a和b个非整周节（即0≤a＜1，0≤b＜1）。从动齿轮2在端点B存在对应的b个非整周节，从动齿轮3在端点A存在对应的a个非整周节。设定从动齿轮2和从动齿轮3分别在角γ1、γ2内具有n2和n3个整周节，在点C与点D分别存在c和d个非整周节，所以齿条在分度线端点存在c和d个非整周节，并在点C和点D之间具有n4个整周节。周节数相当于图2实线范围内所占的齿数。AB段、CD段、BC段、AD段的周节数分别为：

其中：n 取正整数［4－5］。

又根据周节的定义和驱动齿轮齿条之间的啮合关系得：

其中：p为周节，mm。

周节是齿轮相邻两轮齿之间沿节圆量得的距离，是节圆上的一段圆弧［6］。对一个齿数为Z的齿轮来说，共有Z个周节，那么对于前述的四段圆弧，其对应的周节数可以表示为：

所以，将式（12）～式（14）代入式（11）得：

将式（8）代入式（15）整理得：

2 关于夹角x的计算方法及其案例

根据式（16）可知，夹角x与模数m 无关，所以相同模数的条件下不同齿数的齿轮齿条之间相互配合的夹角x和总周节数n是可以直接使用的。

已知齿数Z1和Z2，根据式（10）可以求出夹角x的具体范围，再将边界值代入式（16），求出n的具体范围；在n的范围内任意选一个正整数，即可得到关于夹角x的一个超越方程。解这个超越方程需要用二分法或牛顿迭代法进行计算，可以使用 Wolfram Mathematica和MATLAB［7］等数学软件进行计算。此处给出 Wolfram Mathematica 9.0的具体算法。

Wolfram Mathematica中有专门的函数FindRoot语句求超越方程的根，此处采用FindRoot［f（x）＝＝0，｛x，x0，xmin，xmax｝］语句进行求解，但如果迭代超过了区间［xmin，xmax］就会停止［8］，所以区间选择比夹角x的范围稍微大一点的正整数即可。另外还需注意夹角x的取值是弧度制，可以通过转化转成习惯使用的角度制，如下：

具体案例如下，已知主动轮Z1＝60，两个从动轮Z2＝46，齿轮齿条模数m＝1.5，求出夹角x和两个从动轮之间的中心距l。根据式（10）计算夹角x的范围是：

即n∈［78，126］，n∈N＊。取n＝115，初值设x0＝53.85，Wolfram Mathematica 9.0的程序界面如图3所示。

具体程序如下：

In［1］＝FindRoot［（60＋46）＊x／360＋（60＋46）／

Pi＊Sin［x／2Degree］＋46＝＝115，｛x，53.85，53，161｝，WorkingPrecision→12］

f［x＿］：＝（60＋46）＊x／360＋（60＋46）／Pi＊Sin［x／2Degree］＋46－115

Plot［f［x］，｛x，53.85，161｝］

Out［1］＝｛x130.340822234｝

程序中WorkingPrecision语句用于规定结果的有效数字位数，Plot语句则是生成关于该超越方程根的图像。此外，还可以在程序中加入MaxIterations语句来控制整个计算过程的迭代次数，用来提高计算精度。根据计算结果可知，当n＝115时，x130.340 822 235°，该结果取12位有效数字。可根据实际安装条件来规定取几位有效数字，但根据实际啮合情况来看，取得的x值所计算的n值越接近于正整数，各齿轮齿条之间啮合点的啮合情况越好。同时还应考虑实际啮合时齿侧间隙的允许范围，尽可能消除齿侧间隙，合理选择夹角x的具体数值。