蒋智东 周建平

[摘要]平面向量基本定理是数学的核心概念，教师要努力揭示数学定理的发展过程和本质，通过例题教学巩固知识、训练技能，通过课堂小结完善认知结构。

[关键词]平面向量;基本定理;反思;重构

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0001-03

定理教学是高中数学教学的重要任务，教师要努力揭示数学定理的发展过程和本质，通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解定理产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想，领悟定理本质及丰富内涵，定理只有被深刻理解，学生才具有迁移与应用的能力。

但是，在日常教学中，我们也看到许多教师把定理教学的重点放在情境引入、定理的形成以及定理体系的建构等环节上，对于例题教学、课堂小结等在定理教学中的作用和地位重视程度不够，认识研究不足，定理教学缺乏系统性，削弱了学生对定理本质的理解及其应用，因此，很有必要研究定理教学的规律。

一、例题教学是定理教学不可或缺的组成部分

1.对例题教学的认识及教学现状

例题教学即设计例题，分析、解决例题的活动，它是定理教学的重要组成部分，它是把知识、技能和思想方法联系起来的纽带，它承担着理解定理本质的作用，它还担负着把知识转化为能力的重要使命。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教学中，我們的教师正在进行怎样的例题教学呢？

意图是在用基底线性表示的基础上，利用线性表示的唯一性求解参数，希望在完成一定数量题目的基础上加深对定理的理解，体会其应用。

2.分析与反思

本节课是《平面向量基本定理》的第1课时，这节课的教学目标主要是探究定理的形成过程，体会并理解定理的内容，因此，例题的设计，要紧紧围绕本节课的教学目标进行，在整个课堂教学过程中应为熟悉、巩固定理内容，理解定理本质服务，在此基础上，我们可以对上述各种情形进行反思。

（1）从上面的例题意图分析来看，例1起到了巩固理解定理的作用，例2及其拓展是在平面向量定理的基础上进行向量的运算，属于应用范畴，已经偏离了本节课的教学目标，说明许多教师对例题在定理教学中的定位和作用认识不足，缺乏对例题教学在定理体系建构中的作用的认识。

（2）在定理的实际教学中，许多教师认为只要通过一定量的例题引导和足够的练习训练，学生便自然能理解所学定理，因此，在定理教学中存在忽视定理的形成过程，而在以例题为载体的应用上“浓墨重彩”，李士錡教授在《熟能生巧吗？》一文中指出，熟练并不一定能自然达到理解，片面强调机械记忆、模仿训练及复杂技巧无益于定理本质和蕴含的思想的理解，反而增加了学习的负担，而不理解的知识是难以记忆的，更说不上掌握和灵活应用了。

（3）例题教学中，变式教学可以帮助学生从不同角度加深对定理的理解，使其更加接近其本质，上面例1和例2的变式与例题并无本质的变化，只起到了熟化的作用，例1的变式不妨可以考虑在同一背景下，用不同的基底来表示同一个向量;例2为促进学生对共线向量的进一步理解，可以让学生将公共起点换成B再证明一次。

3.有效重构

通过例题教学，巩固理解定理，通过例题教学运用定理，这就是定理教学中例题的教学功能，结合教学实际，我们认为《平面向量基本定理（1）》的例题设计，重点应放在巩固理解定理上，由教材中的例1来承担;对于定理的应用，可以放在后面的课时，由教材中的例2及其适当的变式和拓展来承担。

利用选定的基底，通过三角形法则和平行四边形法则，可以表示平面内任一向量，这是向量运算的起点，虽然基本但很重要，学生需熟练掌握，这一过程体现了化归与转化的思想，前面案例中的例1就可以起到这个作用，它使定理具有可操作性，我们还可以通过变式，进一步挖掘例题的潜在价值。

意图是使学生明确，同一平面图形中的基底不是唯一的。

变式2：在上述平行四边形中，若E是MD的中点，试分别用a，b和m，n表示AE。

意图是使学生明确，同一平面图形中的基底是可以选择的，不同基底的选择会影响到解题的繁简程度，使学生认识到选择基底的重要性，深入体会定理的作用。

两个变式不但强化了用基底表示向量的技能，还大大提升了学生对定理的认识水平。

例题的设计，要结合时间、学情、内容等因素统筹考虑，关注题目的数量和质量，在我们所听到的多节《平面向量基本定理》第1课时的公开课、评优课中，大家都能将定理的探究作为重点，因此，一般都只能完成到例1和它的一到两个变式，至此，我们认为本节课的教学目的已基本达到。

例题教学是知识理解与能力提升的纽带与载体，例题教学是课堂教学至关重要的一环，如何去除例题教学功能的纯工具化定位，实现例题教学效果的最优化，需要我们不断思考和总结。

二、课堂小结是课堂教学的“把关者”

1.对课堂小结的认识及教学现状

课堂小结是数学课堂教学的重要环节，广大教师在实际教学中，已将课堂小结常态化，说明教师已经认识到课堂小结在课堂教学中的地位和作用。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教学中，我们的教师正在进行怎样的例题教学呢？

情形1：教师以提问的形式让学生回顾并叙述平面向量基本定理的内容，并以板书的形式呈现定理中的关键点，比如“基底”“唯一表示”等，强化学生对所学知识的掌握。

情形2：教师对定理教学有进一步的体会，他们在让学生回顾定理内容、强调关键点之后，引导学生结合例题来体会定理的本质，增加感悟的环节，为下面的应用打下基础。

情形3：教师会在回顾、感悟定理内容的基础上，组织学生提炼在情境引入、定理形成等环节所用到的数学思想方法以及定理本身所体现的思想方法，以定理教学为载体来感悟数学思想方法的应用。

2.分析与反思

上述情形下的课堂小结是否发挥出了应有的作用呢？从形式上来看，情形1的课堂小结只有单一数学知识的简单罗列，较为关注课堂所学到的数学知识，重视本节课知识结构的建构，忽视引导学生对本节课所学内容进行理性的反思过程;情形2有感悟环节，但缺少方法论的提升和数学经验的梳理总结，情形3仍缺少定理体系的建构，忽视引导学生关注本节课的内容在整个章节、整个模块甚至是整个高中数学知识中的地位和价值。

3.有效重构

在反思教学现状的基础上，我们怎样实施有效的课堂小结？这就需要我们明确课堂小结的内涵，从课堂小结的内容结构分析，课堂小结应由回顾和反思两个部分组成，回顾环节，教师应引导学生对本节课的基础知识、基本方法进行有效的梳理和总结，同时还要将问题研究过程中形成的基本经验和本节课内容在整个章节或体系中的地位、价值进行提炼和概括，反思环节，教师应该在引导学生反思自己学会了什么和有何收获的同时，也要反思哪些地方没有学会，没有学懂;还要反思有哪些需要进一步研究的问题。

作为一节课的课堂小结，是本节课学习过程的一个总结和回顾，同时也为下节课的学习或是后续的学习做好铺垫，埋下伏笔，自然地引出以后需要进一步研究的问题，结合课堂小结结构内容的分析以及教学实践，我们认为有效的课堂小结应为陈述性知识、程序性知识和经验性知识的融合，其中，陈述性知识是关于“是什么”和“怎么样”，是关于数学概念和数学原理的知识;程序性知识是关于“怎么做”，是关于数学方法和数学程序的知识;经验性知识是关于“怎么想”，是在学习过程中涉及的数学思想方法、研究方法、数学学科蕴含的人文精神和科学精神等学习经验和体验的知识。

在此基础上，我们给出《平面向量基本定理（1）》的课堂小结：

（1）叙述平面向量基本定理的内容，说说你对“基底”“有且只有一个”的认识;说说平面向量基本定理与向量的加法、减法以及向量共线定理的关系，（基本知识的回顾）

（2）平面向量基本定理的研究思路（过程）是怎样的？用到了哪些思想方法？（研究方法和研究经验的回顾）

研究思路（过程）：

①创设情境，引出问题

通过力与速度的分解引发思考：给定平面内任意的两个非零向量，那么该平面内任一向量能否类似地进行分解？

②数学联想，自主探究

以向量共线定理为起点，以向量加、减法和平行四边形法则为依据探究形成定理，

③领悟内涵，构建定理体系

通过关键词“不共线”“有且只有一对”以及λ1（或λ2）与0的关系，明确定理的本质与内涵，理解有关定理之问关系，形成数学定理体系。

④迁移应用，深化定理理解

通过例题，使学生认识到选定基底就可以表示平面内的任意一个向量，体会定理的作用，研究方法：類比、直观感知、操作确认、归纳猜想、抽象概括等。

（3）反思环节

反思1：平面向量基本定理的本质是什么？

平面内，只要选定一个基底，那么这个平面内的任意一个向量都可以用这个基底来唯一表示。

反思2：还有哪些知识没有学会，没有学懂？

反思3：我们还将继续研究什么问题？（教师和学生共同提出需要进一步研究的问题）

问题1：平面向量基本定理中的基底是否有选择性？有无特殊性？

问题2：当平面内的向量都用同一个基底表示后，会有哪些用处呢？

课堂小结表面上看起来是再次帮助学生整理课堂学习过的知识与方法，而实质上是通过学科知识的建构，引导学生形成良好的数学认知结构。

综上，我们将定理教学的考查点聚焦于例题教学和课堂小结，同时，为了更好地理解课堂教学的实施意图，将教学目标的制订也作为考查对象，结合自己的教学实践进行思考，立足于定理的本质及其育人价值的教育进行反思与重构，努力建构具有实效性的定理课堂教学模式，最大限度地实现定理教学的教育价值。