赵婉婉 王鹏波 门志荣 李春升

(北京航空航天大学电子信息工程学院 北京 100191)

1 引言

合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar,SAR)作为一种主动式微波成像传感器，具备全天候、全天时、高分辨对地观测的能力，在军事侦察、自然资源普查、自然灾害监测等方面得到了广泛的应用。高分辨率宽测绘带是星载SAR发展的重要方向之一，自星载SAR应用于遥感领域以来，始终朝着提高空间分辨率与测绘带宽度的方向努力[1,2]。然而，传统星载SAR系统的空间分辨率与测绘带宽度之间存在相互制约的关系，难以同时实现高空间分辨率和宽测绘带的对地观测。为此，许多SAR研制单位，如欧洲宇航防务集团(European Aeronautic Defence and Space company,EADS)、德国宇航中心(Deutsches zentrum für Luft-und Raumfahrt,DLR)、美国喷气推进实验室(Jet Propulsion Laboratory,JPL)等均已开展高分辨率宽覆盖星载SAR技术研究，众多先进的信息获取技术如多通道技术[3]、参数捷变技术[4]、压缩感知(Compressd Sensing,CS)技术[5,6]等均被应用于星载SAR系统，提升星载SAR的对地探测性能。

互质阵列和互质采样[7,8]是近些年在阵列信号领域中提出的一种新颖的稀疏非均匀阵列及采样方式，其在不增加物理阵元或时域采样点的情况下可大大提高空域和时域自由度，有效减小系统所需要的阵元数目。该阵列一经提出就受到极大的关注，并被广泛地应用于阵列信号处理领域[9-16]。近年来，众多学者开始尝试将互质采样技术应用于SAR成像领域。文献[17]提出一种基于互质阵列波束形成的OrthoCopSAR工作模式，其以两个低于Nyquist采样率的脉冲重复频率(Pluse Repeated Frequency,PRF)发射两列脉冲信号，采用传统的SAR成像处理方法完成对两个脉冲序列回波信号的聚焦处理，并通过两幅图像的对消处理来抑制图像中的虚假目标，实现在弱散射背景中强散射目标的精确成像，可在降低回波数据量的同时增大距离测绘宽度。文献[18]通过将低通滤波器和互质抽取函数结合，实现了一种用于CS雷达采样的互质采样方法，并用凸优化算法实现具有稀疏特性场景的精确重构。文献[19]将互质采样和嵌套采样分别用于SAR方位采样，并通过匹配滤波完成回波信号的距离向脉冲压缩，然后在距离单元徙动(Range Cell Migration,RCM)可忽略的情况下，通过CS方法完成回波信号的方位向脉冲压缩，实现了在远低于Nyquist采样率的条件下稀疏目标的精确成像。然而，随着空间分辨率的不断提升，回波信号的距离徙动量不断加大，回波信号中的距离方位耦合效应将不可忽略。为此，本文提出一种基于2维信号稀疏重构的成像处理方法，综合考虑了回波信号距离方位耦合效应及成像参数随距离门的空变特性，可实现互质采样星载SAR回波信号的有效成像处理。

本文结构如下：第2节介绍了互质采样星载SAR的成像工作模式；第3节详细阐述了基于2维信号稀疏重构的互质采样星载SAR成像处理方法；第4节利用点阵目标及分布目标进行了仿真验证及成像性能分析，验证处理方法的有效性；最后第5节对全文进行总结。

2 互质采样星载SAR成像工作模式

互质阵列由两个均匀线性阵列(Uniform Linear Array,ULA)组成，如图1所示：第1个ULA包含M个阵元，阵元间隔为Nλ/2；第2个ULA包含N个阵元，阵元间隔为Mλ/2，其中M和N为互质数，λ为工作波长。由于两个子阵共用第1个阵元，一个(M,N)-互质阵列仅包含M+N −1个阵元，但其提供的自由度可达到MN，远大于其物理阵元数[7]。

图1 (M,N)-互质阵列物理阵元分布Fig.1 Structure of an (M,N)-co-prime array

互质采样星载SAR将互质采样技术引入星载SAR系统，通过方位向互质采样代替传统的方位均匀采样，利用互质阵列可由低物理阵元数提供高自由度的特点，可在采样率远低于奈奎斯特采样定律的条件下实现具有稀疏特性场景的精确重构。此时，若进一步采用时分复用技术，将互质采样节省的采样点用于观测其他相邻观测区域，可进一步提升SAR系统的距离向成像宽度。图2给出了互质采样星载SAR对地观测示意图。如图2所示，SAR系统在脉冲发射时序的互质时刻(以互质数3和5为例)，即蓝色点所表示的位置向测绘带1发射脉冲信号，而在非互质时刻，即黑色点所表示的位置可向测绘带2发射脉冲信号，或者用于更多的其他测绘带。

图2 互质采样星载SAR对地观测示意图Fig.2 Schematic diagram of co-prime-sampling spaceborne SAR

与传统TOPSAR或ScanSAR实现宽覆盖对地观测相比，互质采样星载SAR核心在于通过互质采样来减小方位向的采样需求，进而在不改变空间分辨率的情况下，通过时分复用的方式来增加雷达系统的距离向成像幅宽。因此，互质采样星载SAR与传统TOPSAR或ScanSAR的成像处理相比，最大的不同在于子块观测数据的成像处理，而后续的拼接处理可采用与传统TOPSAR或ScanSAR相同的方式来实现。然而，互质采样技术的引入导致回波信号呈非均匀采样特性，且不再满足奈奎斯特采样定律，无法采用传统SAR的多普勒域成像处理算法来实现回波信号的成像处理。

3 互质采样星载SAR成像处理方法

针对互质采样星载SAR成像处理问题，本文结合压缩感知理论，提出一种基于2维信号稀疏重构的成像处理方法，可补偿距离方位2维耦合及成像参数随距离门空变对成像产生的影响，实现距离徙动量不可忽略情况下互质采样星载SAR的精确成像。本部分包含两小节，3.1节给出互质采样星载SAR压缩感知成像模型，3.2节介绍具体的互质采样星载SAR成像处理方法。

3.1 互质采样星载SAR成像CS模型

图3给出了星载SAR对地观测空间几何关系示意图。雷达系统通过向地面发射线性调频信号，并接收地面目标的后向散射信号，完成对地面目标的成像探测。

图3 星载SAR空间几何关系Fig.3 Geometry of a typical space-borne SAR

斜距为R(η)的点目标回波信号经混频、中放和单边带通滤波处理后可表示为

其中，τ表示距离时间，η表示方位时间，ηc表示雷达波束照射中心时刻；σ0表示目标的后向散射系数；wr(τ)表示距离向天线增益函数；wa(η)表示方位向天线增益函数；c表示光速；f0表示发射信号的载频；Kr表示距离chirp信号调频率；R(η)表示地面目标与SAR系统平台之间的斜距历程，采用等效斜视距离模型[20-23]进行表征，斜距历程R(η)可表示为

其中，Vr表示等效速度，φr表示等效斜视角。等效速度Vr和等效斜视角φr可由多普勒中心频率fD和多普勒调频率fR来确定，如式(3)和式(4)所示

式(1)经过距离向脉冲压缩后输出为

其中，距离向压缩脉冲包络pr(τ)为距离向频域窗函数Wr(fτ)的傅里叶逆变换处理结果。

如式(5)所示，受距离徙动效应的影响，距离压缩后的回波信号在2维时域内呈现2维分布特性。传统成像处理算法在多普勒域内完成距离徙动校正处理，减小距离徙动效应对方位压缩处理的影响，将方位压缩处理转换为1维信号处理，来完成回波信号的方位压缩处理。然而，由于互质采样不满足奈奎斯特采样定理，2维解耦操作不能同传统SAR一样在距离多普勒域进行。本文将压缩感知理论引入互质采样星载SAR成像处理，将2维耦合信号作为一个整体进行重构，提出基于2维信号的稀疏重构方法，实现互质采样星载SAR的成像处理。

根据压缩感知理论，互质采样星载SAR回波信号的CS模型可以表示为

其中，ΦM×Na表示互质采样矩阵，M表示方位向互质采样点数，Na表示与方位向互质采样相同时间内的均匀采样点数，yM×∆k表示根据距离徙动单元数 ∆k从一个稀疏场景的距离向聚焦回波信号中截取的2维观测信号，如图4所示。ΨNa×(∆k×Na)表示由s0_rc(τ,η)中对应 ∆k个距离门信号的不同方位时延版本组成的稀疏字典，AM×(∆k×Na)表示感知矩阵，其下标M ×(∆k×Na)表示将矩阵按列分块为(α1,α2,···,αNa)，每块αi(i=1,2,···,Na)的大小为M ×∆k,⊗b表 示矩阵分块相乘，定义为AM×(∆k×Na)表示所截取2维观测信号的1维稀疏表示向量。

图4 在距离向聚焦回波信号上截取2维观测信号Fig.4 A 2-D observed signal is intercepted form the range-focused signal

3.2 基于2维信号稀疏重构的成像处理方法

图5给出了基于2维信号稀疏重构的互质采样星载SAR成像处理方法的流程图。如图5所示，主要包含距离向脉冲压缩、2维观测信号截取、稀疏字典构造及2维信号稀疏重构4步。首先，对方位互质采样回波数据Scos在距离向进行传统脉冲压缩，获得距离向聚焦信号Scos_rc；接着，从距离向聚焦信号Scos_rc的第1个距离门开始，根据该距离门的多普勒参数计算距离单元徙动数 ∆k，并在Scos_rc上截取相应 ∆k个距离门作为2维观测信号yM×∆k；然后，根据该距离门的多普勒参数构造相应的稀疏字典ΨNa×(∆k×Na)；最后，用改进的2维信号稀疏度自适应的稀疏重构算法重构出2维观测信号yM×∆k的1维稀疏表示向量估计。当对距离向聚焦信号Scos_rc的所有距离门均完成观测信号截取、稀疏字典构造及2维信号稀疏重构后，将所有观测信号的1维稀疏表示向量按距离门顺序排列为INa×Nr，就得到对场景域的稀疏估计结果。

3.2.1 2维观测信号截取

由于距离徙动量随距离发生变化，为了消除成像参数空变对成像造成的影响，截取2维信号的距离门数应随距离门而更新。对已完成距离向聚焦数据的某一距离门k ∈{1,2,···,Nr}而言，2维观测信号yM×∆k对应Scos_rc的第k −∆k1～k+∆k2个距离门，其中∆k1,∆k2公式由式(7)给出，∆k=∆k1+∆k2表示回波信号的距离徙动量。

图5 基于2维信号稀疏重构的互质采样星载SAR成像处理方法流程图Fig.5 General flow chart of the imaging method based on 2D sparse signal reconstruction for co-prime-sampling spaceborne SAR

其中，Rk表示距离门k对应的波束照射中心斜距；R(η;Rk)表示以Rk为波束照射中心斜距时在波束照射范围之内的斜距历程；η表示方位时间；Min(·)表示求最小值函数；Max(·)表示求最大值函数；fs表示距离向采样率，Tsyn表示合成孔径时间。

3.2.2 稀疏字典构造

对于2维观测信号yM×∆k，其对应的稀疏字典可根据如式(8)所示的参考信号sk_rc(τl,η)构造

其中，τl表示距离时间序列，pr(τl)为距离脉冲压缩包络，τa=2Min[R(η)]/c,τb=2Max[R(η)]/c。

然而，在一些应用中，比如SAR图像干涉，需要保留由目标距离引入的固定相位。如果对参考信号sk_rc(τl,η)乘以相位因子exp{j4πf0Rk/c}，则重构的结果中将包含相位exp{−j4πf0Rk/c}。因此，用于构造稀疏字典的参考信号可表示为

稀疏字典ΨNa×(∆k×Na)通过将参考信号sk_rc(τl,η)在方位向进行循环移位来获得。此外，为了减小不必要的计算开销，可以舍去由于循环移位导致有效回波位置不连续的原子，由此得到稀疏字典ΨNa×(∆k×N)如式(10)所示，其中，U表示在一个合成孔径时间内均匀采样的方位采样点数，字典中的原子个数为N=Na−U，每个原子的大小为Na×∆k。

3.2.3 2维观测信号稀疏重构

由于SAR回波信号中距离方位2维耦合的存在，使得上述截取的2维观测信号yM×∆k及构造的稀疏字典ΨNa×(∆k×N)的原子均为2维不可分离信号，因此，本文将适用于1维信号的稀疏度自适应匹配追踪算法(Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)算法[24]进行改进，使其从1维拓展到2维，且适用于当前从SAR回波截取2维观测信号的稀疏重构。改进后的SAMP算法框图如图6所示。

具体来说，主要做出了以下4个方面的改进：

(1)在算法初始化之前，将2维观测信号yM×∆k、传感矩阵AM×(∆k×N)的所有2维原子aj(j=1,2,···,N)均拉长成1维列向量，通过这样简单的拉长操作，1维信号的稀疏重构算法可适用于2维信号的稀疏重构；

(2)预测试1：通过筛选AM×(∆k×N)中有效回波位置完全包含于观测信号yM×∆k中有效回波位置的原子构成原子初选集P。通过原子初选集的筛选，可以排除有效回波位置不匹配的原子，大大减小了重构算法不必要的计算开销，提高重构效率；

(3)预测试2：通过分别测试原子初选集P与观测信号yM×∆k的相关度以及原子初选集P与残差rt−1的相关度进行筛选，以获得原子候选集Ct。且选择与观测信号最匹配原子的步长和选择支撑集的步长一致，并随迭代次数递增，但选择与残差最匹配原子的步长只随迭代阶段递增。

改变原子候选集选取策略的原因如下：由于互质采样阵的特性，导致传感矩阵中会出现有效回波位置完全一致，但却代表方位向不同位置点目标的原子，如图7中的第2和第3个原子，第8和第9个原子等(采用互质数3和5)。由于残差rt−1是由第t −1次迭代中按使残差减小量最大原则选取的支撑集Ft−1计算得到，使得残差rt−1与Ft−1对应的原子正交，如果只按与残差的相关度匹配候选集原子，则在第t次迭代时将不会匹配到与Ft−1中某一具有相同回波位置的原子，这时如果由于噪声或者面目标的原因使得残差能量在迭代过程中不能趋近于0，具有相同有效回波位置的原子中将会有一些被遗漏。如果在候选集中优先加入这些具有相同有效回波位置且与观测信号相关度很高的原子，同时不把当前残差能量对初始残差能量的比率作为唯一的迭代停止判断条件，将会避免原子匹配遗漏情况的发生。

图6 改进的2维信号SAMP算法框图Fig.6 Block diagram of the improved 2D SAMP algorithm

图7 含有相同有效回波位置的原子的感知矩阵Fig.7 A sensing matrix containing atoms with the same effective echo position.

(4)迭代条件的改变：由于本文中观测信号的截取以及稀疏字典的构造方式，面目标的观测信号在迭代过程中残差能量不能减小至0或者无限接近噪声功率，因此本文在判断当前残差能量对初始残差能量的比率的基础上，引入对连续两次迭代的残差能量减小量对初始残差能量的比率的判断条件，即使连续两次迭代之间的残差能量减小率在小于某个阈值时停止迭代。

表1给出了改进的2维信号SAMP算法的伪代码。一些简要的说明及符号定义如下：传感矩阵AM×(∆k×N)=ΦM×NaΨNa×(∆k×N)，拉长后A的大小为(M ×∆k)×N；2维观测信号yM×∆k拉长后的大小为(M ×∆k)×1；初始化中，rt表示残差，t表示迭代次数，且t ≤M,Λt表示t次迭代后的传感矩阵A中原子的序号集合，∅表示空集，Ly表示选择与观测信号y最匹配的原子步长，Lr表示选择与残差rt最匹配的原子步长，l表示初始步长，N×1表示观测信号y的稀疏表示向量估计；预测试2中，Syt表示原子初选集P中与观测信号y满足相关度测试的原子索引集合，Srt表示原子初选集P中与残差rt−1满足相关度测试的原子索引集合，AP={ai}(for alli ∈P),ai表示A中拉长的各原子，i=1,2,···,N表示各原子在A中的序列号，Max{a,L}表示返回a中前L个最大的值对应的索引，|·|表示求绝对值运算，∪表示集合并运算；rate0表示当前残差能量对于初始残差能量的比率，rate1表示当前相邻两次迭代残差能量的减少量对初始残差能量的比率，∥·∥2表示向量的二范数运算。ε0为根据rate0判定迭代停止的阈值，当无噪声时可令ε0=0，有噪声时可令ε0为噪声功率。ε1为根据rate1判定迭代停止的阈值，ε1越接近于0，重构的精确度越高，但如果ε1过小，将造成不必要的计算开销，因此实际应用中应当衡量ε1的取值对重构精确度和重构时间产生的影响。

表1 改进的SAMP算法Tab.1 The modified 2D SAMP algorithm

4 仿真试验

为了验证处理算法的有效性，采用点阵目标和分布目标进行仿真分析。表2给出了成像仿真参数，仿真时所采用的互质数为3和28，降采样率为35.7%。

4.1 点阵目标成像仿真

设置9个单位RCS点目标，成像结果如图8所示。图9给出图8中编号为1～5的点目标的3维轮廓图。从仿真结果可以看出，各点目标距离向剖面为sinc包络状旁瓣，而方位向剖面则无旁瓣。这说明采用互质数3和28，仅利用原始回波35.7%的数据量就完成了方位向聚焦，且无方位旁瓣。

表2 SAR成像仿真参数Tab.2 SAR imaging simulation parameters

设置81个点目标，平均分为3行，每行点目标具有相同的后向散射系数，其中，第1行为0.2，第2行为0.6，第3行为1.0。第2行最中间的点目标位于场景中心。图10给出了利用本文算法的成像处理结果，图11(a)显示了各行点目标重构幅度与所设置幅度的归一化平方误差曲线，可以看出，重构结果的幅度误差在10-3数量级内呈微小波动特性，这说明所提出成像方法能精确重构雷达目标后向散射系数幅度信息。图11(b)展示了各行点目标重构相位值与理论相位值的归一化平方误差曲线，可以看出，相位误差整体在10-5数量级，这说明所提方法具有良好的保相性能。

图8 点目标重构结果Fig.8 Reconstruction results of point targets

图9 各点目标的3维轮廓图Fig.9 3D contour map of each point target

图10 多点目标重构结果Fig.10 Reconstruction results of multiple point targets

图11 各行点目标重构幅度误差和相位误差曲线Fig.11 The amplitude error curve and phase error curve of the point targets in the reconstruction result

4.2 分布目标成像仿真

为了进一步验证处理算法的有效性，利用真实SAR图像作为散射源进行成像仿真处理。图12给出了TerraSAR-X条带模式Level1 SSC产品图像，观测区域为新加坡海峡。选取其中蓝色矩形框区域(如图13(a)所示)来进行成像仿真处理。图13(b)给出了采用本文算法所获得的成像处理结果。从仿真结果可见，采用互质采样模式，即利用35.7%的回波数据，即可实现对稀疏场景的精确重构处理。

图12 TerraSAR-X Level1 SSC产品图像Fig.12 TerraSAR-X Level1 SSC product image

图13 海面场景目标成像仿真结果Fig.13 Sea surface target imaging simulation result

5 结论

互质采样星载SAR通过方位互质采样缓解空间分辨率和测绘带宽之间的相互制约关系。然而，互质采样SAR回波信号的稀疏非均匀采样特性导致无法使用传统SAR成像处理方法。本文结合压缩感知理论，提出了一种基于2维信号稀疏重构的成像处理方法，可补偿回波信号中距离方位2维耦合及成像参数空变对成像造成的不利影响，从而实现互质采样星载SAR稀疏非均匀采样回波信号的精确聚焦。仿真结果验证了所提出成像处理方法可从互质采样回波信号中精确重构出具有稀疏特性场景中目标的幅度与相位信息。本文的工作可为将互质采样应用于高分辨宽覆盖星载SAR成像提供一定的参考意义。