【摘要】本文以《一一间隔排列》的两次磨课实践为例进行论述，认为教师应在引导学生探索规律的过程中渗透数学思想方法，挖掘规律中蕴含的思想，凸显规律探究的方法。

【关键词】《一一间隔排列》 数学规律 数学思想 磨课

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）45-0112-03

在小学数学教材中，探索规律是数与代数领域的基本内容之一，而《一一间隔排列》这一章节是教学的起始部分，根据教材的要求，教学过程要突出让学生经历探索和发现规律的过程，从中感受和体会特殊到一般的数学思想方法，培养学生的数学推理能力。为了实现这一目标，笔者进行了两次磨课，并在磨课的过程中有了深入的思考。现将这个过程整理成文，与大家分享。

【第一次磨课】

一、课题引入，初步感知

笔者出示小兔子家的图示（如图1），让学生仔细观察小兔子和蘑菇的排列有什么特点，木桩和篱笆是怎么排列的，夹子和手帕是怎么排列的。（学生观察后发现都是一个隔着一个排成一行）

笔者小结并板书：两种物体一个隔一个地排成一行，叫做一一间隔排列。

二、引导学生深入探究

（一）比较发现

笔者出示列表（如表1），让学生数一数、填一填、比一比，并说一说自己发现了什么。（学生发现每一组两种物体的个数相差1）

（二）圈一圈找出原因

笔者让学生把两种物体（小兔和蘑菇，木桩和篱笆）看成一组，动笔圈一圈，然后说出自己的发现。（学生发现分组之后总会多出1个）

（三）思考规律

启发学生思考：如果20只兔子站成一行，每两只兔子中间有一个蘑菇，一共要多少个蘑菇呢？请大家想一想、画一画、算一算。（学生进行操作活动并交流展示）

（四）动手操作探究

笔者让学生动手摆一摆：把方块和圆圈一一间隔排列，方块有10个，看看圆圈最少需要几个，最多需要几个？（学生操作后进行汇报交流）

【教学思考】初次教学实践，课堂比较平稳，学生缺乏生机勃勃的活力以及积极探究的动力。主要表现在两个方面：

（一）学生梳理数量关系有困难

课始，笔者让学生观察比较三组事物排列的共同特点，学生发现都是一个隔着一个排列，由此建立一一间隔排列的基本模型，但在第二个环节让学生寻找数量关系时，学生出现了困难，让学生归纳、完善并概括两种物体的数量关系时，学生也看不出，想不到。

（二）学生被动执行教师的教学安排

寻找数量关系这个任务，教师提供给学生一个表格，但这个表格并不是学生主动探究的需求。教师主动告诉学生，要把一只兔子和一个蘑菇看成一组，这个方法学生也是被动接受的，他们并不知究竟。在整个教学过程中学生缺乏充分的体验，缺乏自主发现的机会。

为什么会出现这样的情况呢？究其原因，笔者认为有两方面：一是内容结构安排影响了学生的思维发展。整节课中给学生呈现的素材较为单一，是间隔排列中唯一的一类“两端物体相同”，学生在研究数量关系的时候，探究的只有这一种类型，思维产生了定式，进而影响了思维的发展，认为数量都是相差1的，这就导致学生在随后的探究中无法找到新的排列可能。二是思想方法的渗透较弱。《一一间隔排列》这一内容中真正的内涵是一一对应，在整节课中，教师并没有引导学生自主发现一一对应的数学思想，也没有及时强化引导，而是让学生自主理解和应用一一对应的思想方法。

綜合以上分析，笔者重新改进教学结构，紧扣一一对应这一思想方法，进行第二次教学实践，思路如下：

1.创设现实情境。给学生创设一个比较熟悉的数学情境，选择动态展示突出一个接着一个的排列过程，让学生从中发现数量关系的特征。

2.设计操作活动。学生需要一个充足的空间进行操作，在操作中进行间隔排列的表象探究。教师可以给予学生引导，促进学生发现一一对应的规律。

3.建构数学结构。给学生呈现间隔排列的多种现象，其中包括封闭和不封闭的，有两端相同的，也有两端不相同的。通过这些不同的直观表象，让学生在比较中体会到数量之间存在着相等和相差的关系，从而帮助学生建构一一对应的数学结构。

【第二次磨课】

一、创设情境，从中发现规律

（一）导入情境

笔者给学生播放演员舞蹈视频。让学生根据演员上场的顺序（女生—男生）来寻找规律。学生发现出场的规律是一个女生一个男生，再一个女生一个男生……

（二）观察发现

笔者给学生出示国庆板报中的设计排版，让学生找出其中的规律。学生发现板报排版是一盆花一棵树，一个隔一个;还有的排版是一个灯笼一个中国结，也是一个隔一个。

（三）比较揭示

笔者让学生结合以上两种特定情境进行比较分析，看看有什么共同特征。学生发现，以上情形都是由两种物体进行排列，并且是一个隔着一个进行排列。笔者引导学生举出身边的例子。学生认为教室的课桌椅也是一张桌子一把椅子一个隔着一个的。

（揭示课题：像这样两种物体一个隔着一个排列，叫做间隔排列）

最后，笔者再创设一个特定的问题情境：现在要做一幅画，用红贝壳和白贝壳一一间隔排列进行装饰。

【教学思考】改进后的教学，给学生创设了一个有效的课堂情境，通过演员上场这个动态视频给学生呈现一个间隔排列的例子，接着再给学生呈现多样化的实例，借助这些丰富的现象，让学生在观察、比较和分析中深入体会，最终自然而然地发现间隔排列方式的特点。紧接着又创设一个问题情境，为接下来的课堂探究做好准备。

二、活动操作，深入探索规律

（一）自主猜想

笔者让学生先自主猜想：现在有70个红贝壳，要进行一一间隔排列，猜一猜需要多少个白贝壳？

学生猜想的答案有很多。笔者引导学生思考：怎样才能够准确地验证呢？学生认为可以在纸上画一画、排一排，但是数量太大比较麻烦。此时，学生提出，可以将数量减少一点，这样就可以通过画一画、排一排的形式，找到红贝壳和白贝壳之间的数量关系，然后进行推算。

（二）活动探究

笔者将数据变小，让学生开展探究活动：将学生分成多组，同桌互相合作，用5个红贝壳进行一一间隔排列，看看怎样找到红贝壳和白贝壳数量之间的关系以及排列的特点。

（三）体验一一对应

笔者让学生将自己的排列情况进行汇报交流。有小组提出，将一个红贝壳和一个白贝壳拴在一起，拴成一组一组，可以发现需要4个白贝壳，比红贝壳少1个。（如图2所示）

笔者引导学生思考：这样一个对着一个有什么好处？学生认为，这样一一对应会看得很清楚，一眼就能够知道谁多谁少。

（四）呈现不同摆法

a组学生展示自己的摆法：一端是红贝壳，另一端也是红贝壳，两端相同，红贝壳比白贝壳多1个。

b组学生展示自己的摆法：左边是红贝壳，右边是白贝壳，红贝壳和白贝壳一一对应为一组，正好分完，数量相等。（如图3）

c组学生展示自己的摆法：两端都是白贝壳，白贝壳比红贝壳多1个。（如图4）

d组学生展示自己的摆法：左边是白贝壳，右边是红贝壳，一对应分组排列，排列后分组没有剩余。（如图5）

（五）分类发现规律

笔者让学生将这4种不同的摆法进行分类，并说出分类的依据和理由。学生将4种摆法移动分为两类，一类是两端物体不同，分组正好分完，数量相等;另一类是两端物体相同，分组以后就会多出一个，数量相差1。

（六）实际验证

笔者先出示男女生一一间隔排列课件的一部分（展现一端是男生，一端是女生），让学生猜想男女生一一间隔排列的人数会怎么样。学生认为，人数会相等，因为两端不同，一一对应分组正好分完。（笔者出示完整课件，验证学生的猜测是对的）接着笔者又出示花和树的一一间隔排列课件的一部分，只呈现一端，另一端没有呈现，让学生猜想树和花的数量会怎么样。学生认为无法判断。因为有两种情况，如果另一端也是树，那树就比花多1，如果另一端是花，那么树就和花的数量相同。（笔者出示完整的课件，验证学生猜想是正确的）

（七）实际应用

笔者再次出示之前的特定问题情境：现在有70个红贝壳，要一一间隔排列，需要多少个白贝壳？你猜对了吗？

学生认为答案并不是唯一的，当两端都是红贝壳时，红贝壳比白贝壳多1个，那么白贝壳就需要69个。当一端是白贝壳，另一端是红贝壳时，这时候白贝壳要比红贝壳多1个，就可能是70个。当两端都是白贝壳，白贝壳比红贝壳就要多1个，那么可能有71个白贝壳。

最后，笔者再出示首尾相连的一串贝壳，让学生观察白贝壳数量会怎么样。学生指出，可以从接头处解开，将贝壳串拉直。笔者从任意接头处把贝壳解开并拉直，拉直后学生观察到两端不同，也就是白贝壳和红贝壳的数量相等，即白贝壳有70个。

【教学思考】这次教学改进将“需要多少个白贝壳”作为一个问题主线，给学生设计了具有挑战性的开放的任务。学生在任务的驱动下经历了“猜想—验证—建构”的探究过程。在课堂教学中，教师根据学生的实际学情精选活动内容，设计活动问题，让学生产生自主解决问题的愿望，学生通过汇报、评议，最终找到了一一间隔排列的规律。此外，还通过丰富的例子支持，让学生从排列的方式到数量的关系，再从排列的单一性到多元化的方法，最终完成了数学概念的抽象概括。这样的学习更有深度，课堂也充满了生命力。

通过两次教学实践，笔者有一个深刻的体会，即探索规律教学的重点，不是让学生记住规律、应用规律，而是在教学过程中进行思想方法的渗透，挖掘规律蕴含的思想，凸显规律探索的方法。在改进后的教学中，学生一开始认为贝壳的数量太多，要进行排一排、画一画太麻烦，所以提出要将数据变小，由此化繁为简，进一步体会复杂的问题要善于简单化。学生通过摆一摆、画一画，认识到间隔排列中“一个对着一个，一一分组”这种排列方式能够让别人一眼看出数量的多少。接下来学习探究“为什么两端相同，两种物体数量相差1？为什么两端不同，两种物体数量相等”的问题，在整个过程中，学生借助任务的推动，进行概念的建构，凸显了间隔排列的内涵，即一一对应。

对学生而言，数学规律的学习内容也许会淡忘，会模糊，但是数学思想方法却一直会根植于学生思维的深处。引导学生探究规律，最重要的是帮助学生深度挖掘其中蕴含的数学思想，笔者相信，这是探索规律教学的一条有效路径。

【参考文献】

[1]顾寅娟.在探索规律中发展核心素养——以《一一间隔排列》教学为例[J].数学教学通讯，2019（1）

[2]荆亚琴.重视探索规律教学 促进思维品质提升——苏教版教材主题式“探索规律”的教学实践与思考[J].小学数学教育，2019（10）

[3]刘新亚.顺应学生思维 让学习走向有效——对《间隔排列》教学的思考[J].数学之友，2019（3）

[4]丁爱平.归纳与演绎交融 知识与智慧共生——“间隔排列”教学实践与思考[J].小學数学教育，2017（Z4）

作者简介：全艳（1982— ），女，广西兴业人，大学本科学历，一级教师，目前主要从事小学数学教学与研究。

（责编 林 剑）