(华中科技大学，材料成形与模具技术国家重点实验室，武汉 430074)

0 引 言

高温合金由于具有良好的高温耐腐蚀、抗断裂、抗疲劳等性能而广泛应用于航空发动机和燃气轮机零件，尤其是复杂涡轮叶片[1-3]。一般来说，高温合金叶片精密铸造工艺参数决定着叶片铸件的显微组织，进而影响其力学性能。铸造凝固过程的影响因素(如冷却速率、温度梯度、形核率等)较多，若设置不当会导致单晶叶片中出现杂晶、显微缩松、缩孔等缺陷；但这些因素对组织的影响难以通过试验来定性定量地进行分析。通过宏观温度场虽然能间接推测出铸件的组织或性能，但无法直接了解显微组织的生长规律，尤其是微观枝晶的生长及其杂晶的形成规律。采用数值模拟技术预测铸件凝固组织演变过程可有效解决这一问题。

近年来，研究人员围绕凝固枝晶组织的生长过程进行了大量模拟研究，其中数值模拟方法主要包括蒙特卡洛法、界面追踪法、相场法及元胞自动机(CA)法[4]。蒙特卡洛法计算效率高，但难以精确描述枝晶微观生长形貌。界面追踪法和相场法虽然能精确再现枝晶形貌，但由于数值计算效率不高而受到一定的使用限制。CA法则兼具枝晶形貌描述准确和计算效率高的优点，因而广泛应用于铸件枝晶生长行为的数值模拟研究中。CA法最早由GANDIN和RAPPAZ提出并应用于凝固组织模拟中[5]；虽然未涉及枝晶形貌的数值模拟，但为后续枝晶生长数值模拟研究提供了方法框架。DILTHEY等[6]首次将CA法应用于枝晶形貌数值模拟，虽然研究结果粗糙但起到了推广作用，引起了广泛关注。随后，NASTAC[7-8]提出了基于随机性方法的CA法框架，并用于模拟枝晶生长形貌；该方法涉及了很多枝晶生长数值计算问题，如溶质守恒法求解枝晶生长速率、枝晶生长过程中界面曲率计算及界面能各向异性等，得到了沿用和发展。SHIN等[9]采用一种扩散界面的CA法对枝晶生长行为进行了数值模拟。BELTARN-SANCHEZ等[10-11]提出了一种结合界面追踪法的CA法，成功解决了枝晶任意取向的数值模拟难题。ZHU等[12]采用枝晶界面的溶质浓度差来衡量固液界面的固相分数增量变化，进一步实现了枝晶非稳定生长状态的数值模拟。PAN等[13]通过界面曲率和界面能加权平均方法实现了枝晶三维数值模拟。类似的研究工作[14-17]还有很多。

枝晶生长主要由溶质扩散和热扩散控制。虽然热扩散作用由于较小而经常被忽略，但其对枝晶生长过程仍存在一定影响。目前，CA法计算效率和对枝晶形貌描述的准确性仍是凝固枝晶生长研究的关键问题，要解决这一问题需要准确计算枝晶生长的溶质场。另外，将凝固微观枝晶生长模型应用于实际多元合金的研究较少。因此，作者提出了一种改进CA法，充分考虑溶质扩散和热扩散对枝晶生长的作用，并基于溶质场方程的27点离散格式对多元高温合金凝固微观枝晶生长进行数值模拟和试验对比，研究了枝晶生长形貌演变和单晶叶片铸件杂晶的形成规律。

1 枝晶生长数学模型与数值求解方法

由于多元合金涉及大量的耦合影响因素，且目前其数值计算理论基础尚不完善，作者首先针对立方晶系二元合金进行研究。假设枝晶生长过程的成分符合平衡相图，即平衡凝固，并且忽略合金熔体的对流流动和固相枝晶晶粒移动，则影响合金枝晶生长的因素主要包括溶质扩散、热扩散及界面张力。数值计算区域给定温度梯度或冷却速率，下面仅给出溶质场、界面能及枝晶生长固液界面固相浓度增量的计算方法。

1.1 溶质场计算

枝晶生长固液界面处的平衡溶质成分浓度可通过溶质再分配进行计算，公式如下

(1)

根据枝晶生长过程热力学规律，固液界面处的平衡温度T*可表示为

(2)

式中：TL0为合金液相初始溶质成分点平衡液相温度；m为平衡液相线斜率；C0为初始溶质浓度；Γ为Gibbs-Thompson系数；w为固液界面曲率与界面能的函数。

(3)

溶质在液相、固相及界面中的扩散计算方程式分别为

(4)

(5)

(6)

式中：t为时间；x，y，z分别为坐标；CL为液相溶质浓度；DL,i为液相溶质扩散系数；CS为固相溶质浓度；DS,i为固相溶质扩散系数；fS为固相体积分数。

1.2 局部固液界面曲率与界面能函数计算

枝晶生长过程的固液界面曲率与界面能函数可通过加权平均曲率KWMC进行关联。

(7)

式中：a()为界面能的各向异性函数；θ为三维晶体固液界面的法向向量所对应的球面角，在直角坐标系中为法向向量与z轴的夹角；ψ为三维晶体固液界面法向向量所对应的另一个球面角，在直角坐标系中为法向向量在x-y平面的投影与x轴的夹角(假设立方晶系的晶体学优先生长方向为直角坐标系中的x，y，z方向)；K1，K2分别为球面角θ，ψ对应的界面曲率。

1.3 局部固液界面固相体积分数增量计算

枝晶生长的驱动力不仅受溶质差的影响，还受到热过冷和界面能的影响；其中界面能的影响已通过式(3)考虑到溶质差驱动力中，还需考虑热过冷的影响。因此假设枝晶生长的驱动力或固液界面推进驱动力包括两方面：一是溶质过饱和度ΩC，即界面平衡溶质成分浓度与液相一侧实际溶质成分浓度之差；二是热过饱和度ΩT。

局部固液界面固相体积分数增量ΔfS计算公式为

(8)

式中：k1，k2均为比例系数；k0为溶质再分配系数；T0为初始温度；ΔH为合金焓变；Cp为比热容。

为简化计算，假设比例系数k1=k2=1。

1.4 枝晶生长过程元胞自动机数值求解方法

将三维数值计算区域划分为一系列均匀相等的正交六面体网格单元，并将网格单元定义为元胞。对于枝晶生长模拟，元胞状态分为3种，即液相元胞(fS=0)，固相元胞(fS=1) 和界面元胞(0

图1 枝晶生长过程模拟的元胞邻居示意Fig.1 Diagram of cellular neighbor for dendrite growth process simulation: (a) first-order nearest neighbour; (b) second-order neighbour and (c) third-order neighbour

采用偏心立方法对枝晶生长演变过程进行数值计算，元胞状态的转变通过各自所对应的正八面体顶点与邻居液相元胞有无交点来判断。但这种方法易形成多层界面问题，因此还需进行修正，并补充以下状态规则：当界面元胞所对应的正八面体单元任意两个顶点的距离超过了2Δx限制，且其邻居元胞仍有液相元胞，则自动转变为界面元胞；当界面元胞的周围邻居元胞已全部转变为固相元胞时，该界面元胞也自动转变为固相元胞。

溶质浓度差是该模拟中枝晶及共晶生长的主要驱动力，因此需要精确计算网格元胞中的溶质场分布。为充分考虑邻居元胞中液相溶质浓度对中心元胞液相溶质浓度的影响，采用27点离散格式离散溶质场方程进行计算，其中空间离散点分布如图2所示，以式(6)为例，其可离散为式(9)。

图2 网格空间离散点分布示意Fig.2 Diagram of the distribution of discrete points in grid space

1.5 多元合金二元化方法

模拟所选材料为DD407高温合金，属于多元合金，化学成分(质量分数/%)为 7.82Cr，5.34Co，2.25Mo，4.88W，6.02Al，1.94Ti，3.49Ta，余Ni。二元合金的相关热力学及动力学参数可通过相图和材料性能计算软件简单计算获得，可以直接采用前文所述的合金凝固过程数值计算模型进行模拟。但对于DD407多元合金，由于涉及复杂的多元耦合凝固过程，每一元素组元相互扩散，因此需要进行大量简化和计算。一般采用多元伪二元合金方法[17]，即先通过热动力学平衡方法计算每一组镍基二元合金的热力学参数，如Ni-7.82Cr，Ni-5.34Co，Ni-2.25Mo，Ni-4.88W，Ni-6.02Al，Ni-1.94Ti及Ni-3.49Ta等镍基二元合金，然后根据各自的二元平衡相图，采用加权平均等当量法计算溶质成分的热力学参数，计算公式为

(10)

(11)

式中：mL为液相线等效斜率；kL为溶质再分配等效系数。

计算得到的等效热物性参数和部分凝固生长参数为CL=31.74%(质量分数)，kL=0.57，mL=-1.96，Γ=1.0×10-7K·m，DL，i=3.0×10-9，DS，i=3.0×10-12，界面能各向异性系数ε为0.03。

2 模拟结果与试验验证

2.1 单晶粒等轴枝晶生长过程模拟

将有限的数值计算区域划分为200×200×200个节点网格，网格大小设置为1 μm，给定一个欧拉角取向为(0,0,0)的晶核，在过冷度ΔT分别为1，3，5 K的均匀过冷条件下模拟其生长情况，并计算枝晶主轴尖端瞬时生长速率vtip。

由图3可知：当过冷度为1 K时，枝晶特征主轴对称生长，无多次枝晶臂，枝晶尖端生长速率随时间延长而逐渐减小；当过冷度为3 K时，枝晶特征主轴逐渐演变出二次枝晶臂，与过冷度为1 K时的相比，枝晶生长速率较大，其中三重轴特征枝晶形貌不对称，存在随机的细微差别；过冷度继续增大到5 K时，枝晶生长速率进一步增大，二次枝晶较发达，特征主轴上的枝晶臂亦呈现随机不对称形貌。3种过冷度下的枝晶尖端生长速率均随时间延长而逐渐降低，这是由于枝晶尖端溶质富集导致成分过冷增大；达到平衡凝固状态时，枝晶尖端生长速率趋于稳定。

图3 试验合金单个等轴晶在不同过冷度下的三维枝晶生长模拟结果Fig.3 Simulation of three-dimensional dendritic growth of a single equiaxed crystal of test alloy at different undercooling degrees

2.2 多取向晶粒枝晶生长模拟

由于假设晶粒为某一特殊取向，且不受周围其他枝晶的影响，上述单个等轴晶的三维枝晶生长模拟一般只适用于理论分析，无法与实际凝固组织对比。下面将模拟分析多个等轴晶在同一环境下的形核生长。将有限的数值计算区域划分为200×200×200个节点网格，网格大小设置为2 μm。给定多个任意欧拉角取向的晶核，在过冷度为3 K的均匀条件下模拟其生长情况。试验用合金通过定向真空炉进行凝固，在与结晶器接触的位置取样，按照GB/T 14999.7-2010，腐蚀后采用Meizs MR6000型光学显微镜(OM)对两个视场下的典型枝晶形貌进行对比观察。

由图4可知：在枝晶生长初期，不同取向的晶粒生长形貌类似于单个等轴晶的，呈三重轴对称生长；随着枝晶的不断长大，不同枝晶晶粒不仅受到溶质叠加富集的影响，还会受到其他枝晶晶粒的阻碍作用，因此呈现非对称生长形貌；在枝晶晶粒生长末期，其尖端生长速率逐渐减慢，二次枝晶臂乃至多次枝晶臂开始粗化，计算区域的固相含量逐渐增大；试验合金的OM形貌中不同取向的枝晶最终呈现非对称形貌，且局部二次枝晶臂粗大，与枝晶形貌模拟结果相似。

2.3 定向凝固过程枝晶竞争生长模拟

2.3.1 等截面区域

设置矩形区域，将有限的数值计算区域划分为30×90×800个节点网格，网格步长为5 μm，并在(30，30，0)、(30，80，0)、(30，130，0)位置设置3个晶核，取向欧拉角分别为(0°，0°，0°)、(0°，10°，0°)、(0°，0°，0°),初始形核过冷度为0 K。

由图5可知：在t=0.05 s时，枝晶生长前沿为等平面推进，形成了二次和三次枝晶臂；在t=0.1～0.15 s时，取向0°的枝晶周期性阻碍了取向10°的枝晶生长，由于过冷度的持续增大，其他枝晶侧臂生长较快；合金定向凝固组织中沿热流方向的枝晶D1易阻碍非热流方向枝晶D2的生长，这与模拟结果一致，枝晶竞争生长规律相同；当t=0.2 s时，取向10°的枝晶超过了取向0°的枝晶尖端，并成功将其淘汰，这是由于枝晶生长过程中溶质的富集和扩散会抑制取向0°的枝晶生长[18]。

2.3.2 变截面区域

在实际铸件凝固的固液界面前端，温度场等温线可能呈现内凹、水平或外凸等形状，这与定向凝固抽拉速度有关。由图6可知，等温线形状对具有变截面区域的单晶铸件凝固组织具有重要的影响，当等温线为内凹状时，具有复杂外形的单晶铸件平台容易形成较大过冷度，导致杂晶缺陷产生，而水平或者外凸形状的等温线则不会产生杂晶[19]。据此，分别对变截面区域有、无杂晶晶核时的枝晶竞争生长过程进行数值模拟分析。数值模拟区域设置为60× 60× 500个节点网格，网格大小为2 μm ，假设形核过冷度为2.5 K，并给定内凹和外凸等温线形式。

图4 多取向晶粒在过冷度3 K下的三维枝晶生长模拟结果与试验合金凝固后的OM形貌Fig.4 Simulation of three-dimensional dendritic growth of multi-orientation grains at undercooling degree of 3 K (a) and OM morphology of test alloy after solidification (b-c): (b) view 1 and (c) view 2

图5 试验合金在温度梯度1 000 K·m-1、冷却速率1.0 K·s-1边界条件下的枝晶竞争生长模拟结果与定向凝固组织OM形貌Fig.5 Simulation of dendrite competitive growth (a) under boundary conditions of temperature gradient of 1 000 K·m-1 and cooling rate of 1.0 K·s-1 and OM morphology of directional solidification structure (b) of test alloy

由图7可知：在等温线为凸形的温度场下，3个初始枝晶晶粒沿z轴方向竞争生长；在t=0.09～0.13 s，枝晶接近变截面时，由于变截面平台过冷度没有达到临界形核过冷度，枝晶的二次和三次枝晶臂在过冷度作用下竞争生长，覆盖了变截面平台；在t=0.13～0.15 s时，枝晶侧向生长受到变截面区域边界的阻碍作用，继续沿着z 轴竞争生长。在此过程中，中间的枝晶晶粒最先被淘汰，而左侧晶粒在变截面区域被右侧晶粒淘汰，这与温度场分布、区域边界及枝晶晶粒取向密切相关。

由图8可知：在等温线为凹形的温度场下，3个初始枝晶晶粒沿z轴方向竞争生长；在t=0.03 s时，由于凹形等温线横跨变截面平台，且右侧平台部分区域过冷度大于临界形核过冷度，杂晶晶粒开始形核；在过冷度的持续作用下，3个初始枝晶晶粒与杂晶晶粒在变截面起始段相遇，并相互竞争生长,在t=0.13 s时，杂晶晶粒基本阻碍了初始枝晶晶粒的生长；在t=0.17 s时，由于两个杂晶晶粒取向不同，左侧杂晶晶粒沿横向快速生长，覆盖了变截面区域，而右侧杂晶晶粒则沿着斜向生长，在阻碍了其他晶粒的生长后，沿着z轴继续生长。

图6 不同等温线形状下单晶铸件变截面区杂晶形成示意Fig.6 Diagram of formation of stray grains in the variable cross-section region of single crystal casting with different isotherm shape:(a) concave isotherm, stray grain formed and (b) outward convex isotherm, without stray grains

图7 铸件变截面区无杂晶时的枝晶竞争生长模拟结果Fig.7 Simulation of dendrite competitive growth in the variable cross-section region of casting without stray grains

图8 铸件变截面区存在杂晶时的枝晶竞争生长模拟结果Fig.8 Simulation of dendrite competitive growth in the variable cross-section region of casting with stray grains

3 结 论

(1) 利用改进元胞自动机方法模拟分析了多元高温合金凝固微观枝晶生长演变规律及杂晶形成规律，模拟计算得到的枝晶生长结果与试验结果及相关文献的研究结果具有一致性，表明了该改进元胞自动机方法能准确直观地再现微观组织生长规律。

(2) 增大过冷度能促进枝晶快速生长，但由于溶质富集，单晶粒枝晶尖端生长速率随时间延长而逐渐减小，多晶还受到其他枝晶晶粒的阻碍作用，从而呈现非对称生长。

(3) 在低冷却速率下的等截面枝晶竞争生长中，偏离热流取向的枝晶会淘汰与热流取向相同的枝晶；在变截面枝晶竞争生长中，内凹形状的等温线易导致杂晶形成。