几何光学问题分类剖析

2020-02-29张大洪

高中数理化 2020年1期

关键词：折射角入射角折射率

张大洪

光学是人教版高中物理教材《选修3-4》中的一个板块,也是高考的必考内容,现对近几年高考中涉及的几何光学问题进行分类剖析.

1 简单的折射光路计算问题

图1

(1)求桅杆到P点的水平距离;

(2)船向左行驶一段距离后停止,调整由P点发出的激光束方向,当其与竖直方向夹角为45°时,从水面射出后仍然照射在桅杆顶端,求船行驶的距离．

点评对于单纯光的折射情况,按题目要求正确作出光路图,正确理解折射率公式中与光传播方向对应的相关角度(入射角、折射角),再利用几何关系及折射率公式即可顺利解题.

2 光在等边三棱镜中的折射问题

例2(2018年全国卷Ⅲ) 如图2-甲所示，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点),然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上,小标记位于AC边上,D位于AB边上;过D点作AC边的垂线交AC于F,该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察,恰好可以看到小标记的像;过O点作AB边的垂线交直线DF于E,DE=2 cm、EF=1 cm.求三棱镜的折射率.(不考虑光线在三棱镜中的反射)

解析过D点作AB边的法线NN′,O点发出经过D点的光线即为OD,其在D点的入射角∠ODN=α,设该光线在D点的折射角为β,如图2-乙所示.根据折射定律

①

点评对于光线经过等边三棱镜折射的情况,按题目要求和题意正确作出光路图是解题的关键.本题抓住等边三角形的特殊角,利用几何关系找准入射角与折射角,正确理解折射率公式中与光传播方向对应的相关角度即可顺利解题．

3 光在圆球形介质中的折射、反射问题

例3(2017年新课标卷Ⅰ) 如图3-甲所示，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体,O点为球心;下半部是半径为R、高为2R的圆柱体,圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入,该光线与OC之间的距离为0.6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)．求该玻璃的折射率．

图3

解析根据球体的对称性及光路的可逆性,要使平行于中心轴OC从半球面射入的光线最后从半球面射出时恰好与入射光线平行,则只能使光线经过球面第一次折射后恰好经过底面的C点,其完整的光路如图3-乙所示.设此光线在半球面的入射角为i,折射角为r,由折射定律得

①

由几何关系知

sini=0.6, cosi=0.8,

②

sinr=2(sinicosr-cosisinr).

③

将式②代入式③解得

④

将式②④代入式①得玻璃的折射率

得r=30°,因而折射光线MN必垂直平分半径OA，且光线在N点对AB面的入射角∠MNE=30°,利用反射定律作出光路图如图4-乙所示，因MN垂直平分OA且∠MNA=∠MNO=60°，知反射光线NO必经过球心O点,那么反射光线NO再次经过半球面时的入射角为0°而将沿直线射出.由图可知MA∥NE且∠ONE=30°,故该光线从球面射出的方向即NO相对于其初始入射方向的偏角

θ=180°—∠ENO=150°．

图4

点评对于光线经过圆球形光学元件折射的情况,抓住球的对称性及半径与法线的相关性,据题意正确作出光路图是解题的关键.例3、例4充分应用平面几何知识准确找出入射角、折射角、反射角及其相互之间的关系,利用折射率公式、三角函数相应关系(如正弦定理等)进行分析处理．

4 光的全反射与平面几何知识关联问题

4.1 全反射位置不明确的探究类问题

图5

①

又由于临界角为r，则折射率为

②

点评对于可能发生全反射的问题需注意以下几点: 1) 明确光线传播的方向及将要经过的各个界面；2) 判定是否发生全反射,讨论发生全反射的可能范围；3) 完整分析并作出不同区域的光线经过各界面的传播光路图,找到所求区域；4) 正确作出必要的辅助线，充分运用平面几何、三角函数等知识,找准入射角、反射角、折射角,关注光的传播方向并正确运用折射定律完成解答．

图6

例6如图6所示，一半径为R的玻璃半球,O点是半球的球心,虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线).已知玻璃的折射率为1.5,现有一束平行光垂直入射到半球的底面上,有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)．求:

(1) 从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值;

图7

4.2 有明确的全反射位置问题

例7(2018年全国卷Ⅱ) 如图8所示，△ABC是一直角三棱镜的横截面,∠A=90°、∠B=60°,一细光束从BC边的D点折射后,射到AC边的E点,发生全反射后经AB边的F点射出.EG垂直于AC交BC于G,D恰好是CG的中点.不计多次反射.

(1) 求出射光相对于D点的入射光的偏角;

(2) 为实现上述光路,棱镜折射率的取值应在什么范围?

图8

图9

结合上述分析可得i2=r2=60°，r1=i3=30°，i1=r3;再由几何关系得F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为δ=β+α,其中α=r3-i3，由三角形内角和等于180°可得β=180°-(i2+r2)-(i1-r1),再结合相应的角度值可得δ=60°．

点评对明确发生全反射位置类问题应注意以下几点： 1)正确认识并读懂光路图;2)正确作出必要的辅助线，充分运用平面几何、三角函数等知识,找准入射角、反射角、折射角;3)准确运用光在相应界面处的折射定律(注意光的传播方向及对应公式中的角度)与反射定律完成解答;4)对于物理量的范围问题,要抓住产生此范围的原因，再利用相关数学知识进行有效处理．

5 不同色光(不同频率的光)在同种介质中的折射、全反射作图类问题

图10

例8虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的,可用白光照射玻璃球来说明.两束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带,光路如图10所示.M、N、P、Q点的颜色分别为( ).

A. 紫、红、红、紫

B. 红、紫、红、紫

C. 红、紫、紫、红

D. 紫、红、紫、红

解析白光中的可见光部分从红到紫在同一介质中的折射率大小关系为n紫>n红,由折射定律知紫光的折射角较大,由光路可知紫光将到达M点和Q点,而红光到达N点和P点,故选A.

点评不同频率的色光在同种介质中的折射率与偏折程度不同,在可见光中从红光→紫光:光的频率增大、在同一介质中的折射率增大、偏折角增大、传播速度减小、产生全反射的临界角减小．注意根据折射定律、反射定律正确作出光路图来分析处理．

6 光的折射实验类

例9(2016年四川卷) 某同学通过实验测定半圆形玻璃砖的折射率n．如图11-甲所示,O是圆心,MN是法线,AO、BO分别表示某次测量时光线在空气和玻璃砖中的传播路径．该同学测得多组入射角i和折射角r,作出sini-sinr图象如图11-乙所示．则( )．

图11

A. 光由A经O到B,n=1.5

B. 光由B经O到A,n=1.5

C. 光由A经O到B,n=0.67

D. 光由B经O到A,n=0.67

点评测定介质折射率实验中,需正确作出光路图并深入理解折射率公式中的相应角,若涉及图线则要准确挖掘图线中的各种信息,并正确分析、理解其意义．

7 光束与微小实物粒子产生经典相互作用类问题

图12

例10(2016年北京卷) 激光束可以看作是粒子流,其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动．激光照射到物体上,在发生反射、折射和吸收现象的同时,也会对物体产生作用．光镊效应就是一个实例,激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒．一束激光经S点后被分成若干细光束,若不考虑光的反射和吸收,其中光束①和②穿过介质小球的光路如图12所示,图中O点是介质小球的球心,入射时光束①和②与SO的夹角均为θ,出射时光束均与SO平行．请在下面两种情况下,分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向．

(1) 光束①和②强度相同;

(2) 光束①比②强度大．

解析 (1) 因不考虑光的反射和吸收，仅考虑光的折射,设t时间内每束光穿过小球的粒子数为n,每个粒子动量的大小为p,以该束粒子流为研究对象,则这些粒子进入小球前的总动量为p1=2npcosθ(因①②具有对称性,故在竖直方向的总动量为0),方向沿SO水平向右;由于光在同种介质中的传播速度是相同的,即光束中的粒子在经过介质小球前、后的动量大小必均为p,故t时间内从小球射出后粒子流的总动量必为p2=2np,且方向沿SO水平向右;对这束粒子(粒子数为n)根据动量定理有Δp=p2-p1=F·Δt=2np(1-cosθ)>0,故小球对这些粒子的作用力F的方向必沿SO向右,再根据牛顿第三定律得两光束对小球合力的方向必沿OS向左．

图13

(2) 建立图13所示的xOy坐标系,在x方向:根据(1)同理可得两光束对小球的作用力必沿x轴负方向;在y方向,设t时间内光束①穿过小球的粒子数为n1,光束②穿过小球的粒子数为n2,因光束①比②强度大，即n1>n2，这些粒子进入小球前的总动量为p1y=(n1-n2)psinθ>0,即其方向竖直向上(y轴正方向);从小球出射时y方向的总动量p2y=0.根据动量定理得

Fy·Δt=p2y-p1y=-(n1-n2)psinθ,