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等腰三角形辅助线怎么作?

2020-02-04刘海运

关键词:延长线平分对称轴

刘海运

一、作顶角的平分线(或底边上的中线,底边上的高线)

例1, 如图1,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求证:∠BAC=2 ∠DBC.

证明:作∠BAC的平分线AE,交BC于E,如图2,则∠1=∠2=1/2∠BAC,AE⊥BC.

∵∠2=∠DBC(均与∠C互余),

∴ ∠BA C=2∠ DBC.

二、有底边中点时,常作底边上的中线

例2 如图3,△ABC中,AB=AC.D为BC的中点,DE ⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:DE=DF

证明:如图4.连接AD.

∵ D为BC的中点,AB=AC,

∴AD平分∠ABC

∵ DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF.

三、将腰延长一倍,构造直角三角形

例3 如图5,△ABC中,AB=Ac.在BA的延长线和AC上各取一点E,F,使AE=AF求证:EF⊥BC.

证明:如图6,延长BE到N,使AN=AB.连接CN,则AB=AN=AC.

∴ ∠B=∠A CB, ∠ACN=∠N.

∵ ∠B+ ∠A CB+ ∠A CN+ ∠N=180°.

∴ 2∥ACB+2∠A CN=180°.

∴ ∠ACB+ ∠ACN=90°.即∠BCN=90°.

∴NC⊥BC.

∵AE=AF。

∴∠A EF= ∠A FE.

又∵ ∠BA C= ∠A EF+ ∠A FE.

∠BA C= ∠A CN+ ∠N,

∴ ∠BA C=2 ∠AEF=2 ∠N.

∴∠AEF= ∠N,EF//NC.

∴ EF⊥ BC.

四、過一腰上的某已知点作另一腰的乎行线

例4 如图7,在△ABC中,AB=A C.D在AB上.E在AC的延长线上,且BD=CE.连接DE交BC于F,求证:DF=EF

证明:过D点作DN//AE,交BC于Ⅳ,则∠DNB=∠ACB、∠NDE=∠E.

∵ AB=AC.

∴ ∠B= ∠ACB.

∴ ∠B= ∠DNB ,BD=DN.

又∵BD=CE.

∴DN=CE.

从而易证△DNF≌△ECF(角角边),DF=EF.

点评:也可过E点作EM //AB交BC的延长线于M.如图9.

五、过一腰上的某已知点作底的平行线

例5 同例3. 证明:过点E作ED∥BC交CA的延长线于D,如图10.

∵AB=AC.

∴ ∠B=∠C.

∴ ∠A ED= ∠A DE.

∵AE=AF.

∴ ∠A EF= ∠A FE.

又 ∵ ∠ADE+ ∠AED+ ∠A EF+ ∠A FE=180°.

∴ 2 ∠AED+2 ∠AEF=180°.

∴∠DEF=90° ,DE⊥EF

又∵ED//BC,

∴ EF⊥ BC.

六、以角平分线所在直线为对称轴构造等腰三角形

例6 如图11,在△ABC中,∠A=2∠BCD平分∠A CB,AD=2.2,AC=3.6.求BC的长.

分析:因为∠A=2∠B.所以可以尝试转化∠A.以便出现一个等腰三角形.因为CD平分∠A CB,所以可在CB边上取一点E,使EC=AC,连接DE(如图12).这样,很容易得到△DEC≌△DAC,△BED是等腰三角形.再经过推理就能使问题得到解决.

解:在CB边上取一点E,使EC=AC,连接DE.

∴ △DEC≌△DA C(边角边).

EC=AC=3.6, DE=AD=2.2, ∠A=LDEC.

∴ ∠DEC=2∠B.从而有∠BDE= ∠B.

∴ BE=DE=2.2,BC=BE+EC=5.8.

点评:当题目中有角平分线以及内角间关系时,可设法以角平分线所在直线为对称轴,构造等腰三角形与全等三角形,从而实现线段间的转化.本题还可以构造等腰△ADE与全等三角形来解,如图13.

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